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sera moindre, abstraction faite du signe, que $2k\pi .$ De là il suit que $a^{(i)},$ abstraction faite du signe, est moindre que

${\frac {4k{\sqrt {1-e^{2}}}}{i^{2}}},$

ce terme devient nul lorsque $i$ est infini. De plus, la série de l’expression précédente de $v,$ à partir de $i$ supposé très grand, est moindre que

${\frac {4k{\sqrt {1-e^{2}}}}{i}}\,;$

quantité qui devient nulle lorsque $i$ est infini. Cette série est donc convergente.

Considérons de la même manière l’expression de $\mathrm {R} ,$ développée dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de $t$ et de ses multiples. Soit

$\mathrm {R} =b^{(0)}+b^{(1)}\cos t+\ldots +b^{(i)}\cos it+\ldots \,;$

on aura

$\pi b^{(i)}=\int \mathrm {R} dt\cos it,$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ égal à $2\pi ,$ ce qui donne

$\pi b^{(i)}=-{\frac {1}{i^{2}}}\int dt\cos it{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}.$

Les formules du mouvement elliptique donnent

${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}={\frac {1-e^{2}-\mathrm {R} }{\mathrm {R} ^{3}}}.$

Cette dernière quantité est toujours négative^[1]. Désignons par $-k'$ son maximum, et supposons $\cos it$ égal à l’unité ; on aura, abstraction faite du signe, $\pi b^{(i)}$ moindre que ${\frac {2k'\pi }{i^{2}}}\,;$ d’où il suit que la série de l’expression de $\mathrm {R}$ est convergente.

On peut, en suivant la méthode exposée dans le numéro précédent,

1. Voir, dans le Tome V des Œuvres de Laplace, la note de la page 486.