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III.

On développe encore les expressions de l’anomalie vraie et du rayon vecteur, suivant les sinus et cosinus des multiples de l’anomalie moyenne. Soit alors

$v=t+a^{(1)}\sin t+a^{(2)}\sin 2t+\ldots a^{(i)}\sin it+\ldots ,$

$a^{(1)},a^{(2)},\ldots$ étant des fonctions de l’excentricité. On peut facilement démontrer que la série est toujours convergente. En effet, on a

$\int (v-t)dt\sin it=\pi a^{(i)},$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ égal à $2\pi .$ Or on a, dans ces limites, en intégrant par parties,

$\int dt(v-t)\sin it={\frac {1}{i}}\int dt\left({\frac {dv}{dt}}-1\right)\cos it=-{\frac {1}{i^{2}}}\int dt\sin it{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\,;$

on aura donc

$a^{(i)}=-{\frac {1}{i^{2}\pi }}\int dt\sin it{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\,;$

l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\mathrm {R} ^{2}}}$

donne

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=-{\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{\mathrm {R} ^{3}}}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}.$

Au périhélie et à l’aphélie, ${\frac {d\mathrm {R} }{dt}}$ est nul ; ${\frac {d\mathrm {R} }{\mathrm {R} ^{3}dt}}$ est positif, en allant du premier de ces points au second, et négatif, du second au premier. Soit $k$ sa plus grande valeur positive ; $-k$ sera sa plus grande valeur négative. En supposant donc que les valeurs de $\sin it$ soient positives et égales à l’unité, depuis le périhélie jusqu’à l’aphélie, et négatives et égales à $-1,$ depuis l’aphélie jusqu’au périhélie, on voit que l’intégrale $\int {\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\sin itdt,$ prise depuis le périhélie jusqu’à l’aphélie,