III.
On développe encore les expressions de l’anomalie vraie et du rayon vecteur, suivant les sinus et cosinus des multiples de l’anomalie moyenne. Soit alors
![{\displaystyle v=t+a^{(1)}\sin t+a^{(2)}\sin 2t+\ldots a^{(i)}\sin it+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4570a9e9f235a5712a62333453c57a9228b72414)
étant des fonctions de l’excentricité. On peut facilement démontrer que la série est toujours convergente. En effet, on a
![{\displaystyle \int (v-t)dt\sin it=\pi a^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afaf9e44589b57acd4f184b607089136d73fdf2)
l’intégrale étant prise depuis
nul jusqu’à
égal à
Or on a, dans ces limites, en intégrant par parties,
![{\displaystyle \int dt(v-t)\sin it={\frac {1}{i}}\int dt\left({\frac {dv}{dt}}-1\right)\cos it=-{\frac {1}{i^{2}}}\int dt\sin it{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2d7f53dfbd7a4404301321644f068c5ce06010)
on aura donc
![{\displaystyle a^{(i)}=-{\frac {1}{i^{2}\pi }}\int dt\sin it{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f8e11da6322c5ae159e0a9e1917075f21ca08c)
l’équation
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\mathrm {R} ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86a7673b9ecd765c0a57b33deac0c394e877ba8)
donne
![{\displaystyle {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=-{\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{\mathrm {R} ^{3}}}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96e6096cadfb3c897ea2d57a0981b5e3203e508a)
Au périhélie et à l’aphélie,
est nul ;
est positif, en allant du premier de ces points au second, et négatif, du second au premier. Soit
sa plus grande valeur positive ;
sera sa plus grande valeur négative. En supposant donc que les valeurs de
soient positives et égales à l’unité, depuis le périhélie jusqu’à l’aphélie, et négatives et égales à
depuis l’aphélie jusqu’au périhélie, on voit que l’intégrale
prise depuis le périhélie jusqu’à l’aphélie,