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c’est-à-dire que le coefficient d’une puissance quelconque $e^{s}$ dans le développement de cette fonction est positif et plus grand, abstraction faite du signe, que le coefficient de la même puissance dans le développement de ${\frac {dv}{dt}}.$

Donnons à la fonction $(p)$ cette forme

${\frac {\mathrm {A} ^{2}}{1-e^{2}}}+{\frac {4\mathrm {A} (1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)\left(1-e^{2}\right)}}+{\frac {2(1-2\omega )^{2}q^{2i}e^{2i}}{\pi (1-qe)^{2}\left(1-e^{2}\right)}}.$

Le terme ${\frac {\mathrm {A} ^{2}}{1-e^{2}}}$ développé en série donne une série convergente ; car quelque grand que l’on suppose $i,$ pourvu qu’il soit fini, $\mathrm {A} ^{2}$ sera composé d’un nombre fini de termes. En désignant par $me^{i'}$ l’un de ces termes, ${\frac {me^{i'}}{1-e^{2}}},$ développé en série, donnera une série convergente, $e$ étant supposé moindre que l’unité. Ainsi, ${\frac {\mathrm {A} ^{2}}{1-e^{2}}}$ donnera un nombre fini de séries convergentes, et, dans leur somme, le terme dépendant de $e^{s}$ deviendra nul lorsque $s$ est infini.

Le terme

${\frac {4\mathrm {A} (1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)\left(1-e^{2}\right)}}$

donnera un nombre fini de termes de la forme

${\frac {ne^{i}}{(1-qe)\left(1-e^{2}\right)}}\,;$

or la fraction

${\frac {1}{(1-qe)\left(1-e^{2}\right)}}$

se décompose dans les trois suivantes :

${\frac {1}{2(1-q)}}{\frac {1}{1-e}}+{\frac {1}{2(1+q)}}{\frac {1}{1+e}}-{\frac {q^{2}}{1-q^{2}}}{\frac {1}{1-qe}}.$

Chacune d’elles, développée en série, donne une série convergente ; car, par la supposition, $qe$ est moindre que l’unité. On voit donc que le terme

${\frac {4\mathrm {A} (1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)\left(1-e^{2}\right)}}$