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dernier terme égal à

$(e)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {2}{\sqrt {i}}}{\frac {1-2\omega }{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {ec(1-2\omega )}{2\omega ^{\omega }(1-\omega )^{1-\omega }}}\right]^{i},$

$\omega$ étant donné par l’équation $(c)$ de l’article précédent.

Maintenant, si l’on désigne par $\mathrm {A}$ la série

${\begin{aligned}1+e&+{\frac {2^{2}e^{2}}{1.2.2}}+\ldots \\&+{\frac {e^{i'}}{1.2.3\ldots i'.2^{i'-1}}}\left[i^{'i'}-i'(i'-2)^{i'}+{\frac {i'(i'-1)}{1.2}}(i'-4)^{i'}+\ldots \right]+\ldots ,\end{aligned}}$

la série étant continuée jusqu’à $i'=i,$ il est facile de voir que l’expression en série de ${\frac {du}{dt}}$ sera moindre que le développement en série de la fonction

$(o)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {A} +{\frac {2(1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)}},$

en désignant par $q$ la quantité

${\frac {(1-2\omega )c}{2\omega ^{\omega }(1-\omega )^{1-\omega }}}\,;$

car il est visible que le coefficient d’une puissance quelconque $e^{s}$ dans le développement de la fonction $(o)$ est positif, et qu’il est plus grand, abstraction faite du signe, que le coefficient de la même puissance dans le développement de ${\frac {du}{dt}}.$ L’expression de ${\frac {dv}{dt}}$ ou de $\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}$ est donc moindre

$\left[\mathrm {A} +{\frac {2(1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)}}\right]^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\,;$

or le développement de ${\sqrt {1-e^{2}}}$ est moindre que celui de ${\frac {1}{1-e^{2}}}\,;$ le développement de ${\frac {dv}{dt}}$ est donc moindre que celui de

$(p)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\left[\mathrm {A} +{\cfrac {2(1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)}}\right]^{2}}{1-e^{2}}},$