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nant établir qu’alors la série de l’expression de l’anomalie vraie développée de la même manière est pareillement convergente.

II.

$u$ étant l’anomalie excentrique et $v$ l’anomalie vraie, on a, par le n^o 20 du second Livre de la Mécanique céleste.

${\begin{aligned}t\ =&u-e\sin u,\\\mathrm {R} =&1-e\cos u,\end{aligned}}$

ce qui donne

${\frac {du}{dt}}={\frac {1}{\mathrm {R} }}\,;$

or on a, par la loi des aires proportionnelles aux temps,

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\mathrm {R} ^{2}}}\,;$

on a donc

${\frac {dv}{dt}}=\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}.$

L’expression en série de $u$ du n^o 22 du Livre cité donne

${\frac {du}{dt}}=1+e\cos t+{\frac {e^{2}}{1.2.2}}2^{2}\cos 2t+{\frac {e^{3}}{1.2.3.2^{2}}}\left(3^{3}\cos 3t-3\cos t\right)+\ldots .$

Le terme général de cette série est

${\begin{aligned}{\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}&\left[{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}i^{i}\cos it-i(i-2)^{i}\cos(i-2)t\right.\\&\quad +\left.{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i}\cos(i-4)t-\ldots \right].\end{aligned}}$

et, dans aucun cas, il ne peut surpasser

${\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}\left[i^{i}+i(i-2)^{i}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i}+\ldots \right].$

En suivant exactement l’analyse de l’article précédent, on trouve ce