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L’équation $(c)$ donne à peu près

$\omega =0{,}08307,$

d’où l’on tire

$e=0{,}66195.$

L’équation précédente de la limite de l’excentricité $e$ donne à cette limite

$1-2\omega ={\frac {1}{\sqrt {1+e^{2}}}},$

d’où il est facile de conclure

${\frac {1-\omega }{\omega }}={\frac {1+{\sqrt {1+e^{2}}}}{e^{2}}}\,;$

l’équation $(c)$ donnera donc

$(m)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad 1+{\sqrt {1+e^{2}}}=e^{c{\sqrt {1+e^{2}}}}.$

Les valeurs de $e,$ supérieures à celle que cette équation donne, rendent l’expression en série du rayon vecteur $\mathrm {R}$ divergente lorsque $t$ est un angle droit. Pour toutes les valeurs inférieures, cette série est convergente quel que soit $t.$ En effet, le terme général de l’expression de $\mathrm {R}$ développée en série ordonnée par rapport aux puissances de l’excentricité est, comme on l’a vu,

$-{\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots (i-1)2^{i-1}}}\left[i^{i-2}\cos it-i(i-2)^{i-2}\cos(i-2)t+\ldots \right].$

La plus grande valeur de ce terme, abstraction faite du signe, ne peut surpasser

${\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots (i-1)2^{i-1}}}\left[i^{i-2}+i(i-2)^{i-2}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i-2}+\ldots \right].$

On vient de voir que cette valeur, lorsque $i$ est infini, devient nulle par un facteur moindre que l’unité élevé à la puissance $i,$ lorsque l’excentricité $e$ est au-dessous de celle qui résulte de l’équation aux limites ; la série est donc convergente quel que soit $t.$ Je vais mainte-