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La série $(a)$ devient ainsi, abstraction faite du signe,

${\frac {i(i-2r)^{i-2}{\sqrt {\pi }}}{1.2.3\ldots (i-r)1.2.3\ldots r}}{\frac {i(1-2r)}{i}}{\sqrt {\frac {2r(i-r)}{i}}}{\frac {e^{i}}{2^{i-1}}}.$

On a à très peu près, par les théorèmes connus,

${\begin{aligned}1.2.3\ldots (i-r)=&(i-r)^{i-r+{\frac {1}{2}}}c^{-(i-r)}{\sqrt {2\pi }},\\1.2.3\ldots r\qquad \ \,=&r^{r+{\frac {1}{2}}}c^{-r}{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}$

La série $(a)$ devient donc

${\frac {{\cfrac {2}{\sqrt {i}}}(i-2r)^{i-1}\left({\cfrac {ec}{2}}\right)^{i}}{r^{r}(i-r)^{i-r}{\sqrt {2\pi }}}}$

ou

$(d)\qquad \qquad \qquad {\frac {2}{i{\sqrt {i}}(1-2\omega ){\sqrt {2\pi }}}}\left[{\frac {ec(1-2\omega )}{2\omega ^{\omega }(1-\omega )^{1-\omega }}}\right]^{i},$

$\omega$ étant donné par l’équation $(c).$

On doit observer ici que la valeur de $\omega$ donnée par cette équation n’est pas rigoureuse. Nous avons négligé, pour former cette équation, les quantités de l’ordre ${\frac {1}{i}},$ et de plus nous avons supposé que le terme maximum $p$ était égal à celui qui le précède, ce qui n’est qu’approché. De là il suit que la valeur exacte de $\omega$ est celle que donne l’équation $(c),$ plus une correction de l’ordre ${\frac {1}{i}},$ que nous désignerons par ${\frac {q}{i}}.$ Mais cette correction disparaît d’elle-même par la condition de $p$ maximum. En effet, si l’on nomme $\mathrm {D}$ la fonction

${\frac {ec(1-2\omega )}{2\omega ^{\omega }(1-\omega )^{1-\omega }}}$

et $\mathrm {D} '$ cette fonction, lorsqu’on y change $\omega$ dans $\omega +{\frac {q}{i}},$ on aura

$\log \mathrm {D} ^{'i}=i\log \left[\left(1+{\frac {q}{i}}{\frac {d\mathrm {D} }{\mathrm {D} d\omega }}+{\frac {q^{2}}{2i^{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {D} }{\mathrm {D} d\omega ^{2}}}+\ldots \right)\mathrm {D} \right].$

En repassant des logarithmes aux membres et négligeant ensuite les