Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/567

Par la nature de $r,$ on a à très peu près, par ce qui précède,

$\log {\frac {i-r}{r}}+{\frac {1}{i-r}}=(i-2)\left[{\frac {2}{i-2r}}-{\frac {2}{(i-2r)^{2}}}\right]\,;$

la fonction précédente deviendra donc

$\log p-(1+2+3+\ldots +t){\frac {i}{r(i-r)}}-{\frac {2t(i-2)(t+1)}{(i-2r)^{2}}}.$

En ne conservant ainsi parmi les termes de l’ordre ${\frac {1}{i}}$ que ceux qui sont multipliés par $t^{2},$ et observant que

$1+2+3+\ldots +t={\frac {t^{2}+t}{2}},$

cette fonction prendra la forme

$\log p-{\frac {i^{3}t^{2}}{2r(i-r)(i-2r)^{2}}},$

ce qui donne pour le terme placé à la distance $t$ du terme $p$

$pc^{-{\frac {i^{3}t^{2}}{2r(i-r)(i-2r)^{2}}}}.$

Il est facile de s’assurer que cette même valeur a lieu à très peu près pour le terme placé avant $p$ à la même distance. La somme de tous ces termes sera la série entière $(a').$ On aura, comme on sait, cette somme à très peu près égale à

$p\int dtc^{-{\frac {i^{3}t^{2}}{2r(i-r)(i-2r)^{2}}}},$

l’intégrale étant prise depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty ,$ ce qui donne, par les méthodes connues, la série $(a')$ égale à

$p{\sqrt {\pi }}{\frac {i-2r}{i}}{\sqrt {\frac {2r(i-r)}{i}}},$

$\pi$ étant la circonférence dont le diamètre est l’unité. On a

$p={\frac {1.2.3\ldots i(i-2r)^{i-2}}{1.2.3\ldots (i-r)1.2.3\ldots r}}.$