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l’équation $(b)$ deviendra donc, en négligeant les termes de l’ordre, ${\frac {1}{i}},$

$\log {\frac {i-r}{r}}={\frac {2i}{i-2r}},$

ce qui donne

${\frac {i-r}{r}}=c^{\frac {2i}{i-2r}},$

$c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. En faisant $r=\omega i,$ on aura

$(c)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {1-\omega }{\omega }}=c^{\frac {2}{1-2\omega }}.$

Si l’on nomme $p$ le terme maximum

${\frac {i(i-1)\ldots (i-r+1)}{1.2.3\ldots r}}(i-2r)^{i-2},$

le terme qui en est éloigné du rang $t$ sera

$p{\frac {(i-r)(i-r-1)\ldots (i-r-t++1)}{(r+1)(r+2)\ldots (r+t)}}\left({\frac {i-2r-2t}{i-2r}}\right)^{t-2}.$

Son logarithme sera donc

$\log p+t\log(i-r)+\log \left(1-{\frac {1}{i-r}}\right)+\log \left(1-{\frac {2}{i-r}}\right)+\ldots$

$+\log \left(1-{\frac {t-1}{i-r}}\right)-t\log r-\log \left(1+{\frac {1}{r}}\right)-\log \left(1+{\frac {2}{r}}\right)-\ldots$

$-\log \left(1+{\frac {t}{r}}\right)+(i-2)\log \left(1-{\frac {2t}{i-2r}}\right).$

En développant en séries ces logarithmes et négligeant les termes de l’ordre ${\frac {1}{i^{2}}},$ on aura

${\begin{aligned}\log p+t\log {\frac {i-r}{r}}&-{\frac {1+2+3+\ldots +(t-1)}{i-r}}\\&-{\frac {1+2+3+\ldots +t}{r}}-(i-2)\left[{\frac {2t}{i-2r}}+{\frac {2t^{2}}{(i-2r)^{2}}}\right].\end{aligned}}$