l’équation
deviendra donc, en négligeant les termes de l’ordre,
![{\displaystyle \log {\frac {i-r}{r}}={\frac {2i}{i-2r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b48eb4ce55fd23b929847f2974b733d8912136)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {i-r}{r}}=c^{\frac {2i}{i-2r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cb7b8d6541b264245e822e78aeb692abf319da)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. En faisant
on aura
![{\displaystyle (c)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {1-\omega }{\omega }}=c^{\frac {2}{1-2\omega }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a2859c045c74adf96fee9d68e5a8e85f40373aa)
Si l’on nomme
le terme maximum
![{\displaystyle {\frac {i(i-1)\ldots (i-r+1)}{1.2.3\ldots r}}(i-2r)^{i-2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a661eed731bfa056548189ade177d1669263bbfc)
le terme qui en est éloigné du rang
sera
![{\displaystyle p{\frac {(i-r)(i-r-1)\ldots (i-r-t++1)}{(r+1)(r+2)\ldots (r+t)}}\left({\frac {i-2r-2t}{i-2r}}\right)^{t-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63c82c0f5f85fc8d6640931d557b3e970d9e720)
Son logarithme sera donc
![{\displaystyle \log p+t\log(i-r)+\log \left(1-{\frac {1}{i-r}}\right)+\log \left(1-{\frac {2}{i-r}}\right)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3fe9f7e0f81f6b49e8d652cbab11a87d3ace4b)
![{\displaystyle +\log \left(1-{\frac {t-1}{i-r}}\right)-t\log r-\log \left(1+{\frac {1}{r}}\right)-\log \left(1+{\frac {2}{r}}\right)-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437c0a17d66e48199ef9265a8f816d8b0a262ebb)
![{\displaystyle -\log \left(1+{\frac {t}{r}}\right)+(i-2)\log \left(1-{\frac {2t}{i-2r}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b532281b28d9d8547f2e582ec9334f36313da377)
En développant en séries ces logarithmes et négligeant les termes de l’ordre
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log p+t\log {\frac {i-r}{r}}&-{\frac {1+2+3+\ldots +(t-1)}{i-r}}\\&-{\frac {1+2+3+\ldots +t}{r}}-(i-2)\left[{\frac {2t}{i-2r}}+{\frac {2t^{2}}{(i-2r)^{2}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b367af6f279385632083d326f6529602ee5e28)