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devient, abstraction faite du signe, égal à

$(a)\ \ {\frac {e^{i}}{1.2.3(i-1)2^{i-1}}}\left[i^{i-2}+{\frac {i}{1}}(i-2)^{i-2}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i-2}+\ldots \right],$

\end{align} </math>}}

et il est alors le plus grand possible. Déterminons sa valeur lorsque $i$ est un très grand nombre.

Il est facile de voir que les termes de la série

$(a')\qquad \qquad i^{i-2}+{\frac {i}{1}}(i-2)^{i-2}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i-2}+\ldots$

vont d’abord en croissant et qu’ils ont un maximum après lequel ils diminuent. À ce maximum, deux termes consécutifs sont à très peu près égaux. Soit

${\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-r+1)}{1.2.3\ldots r}}(i-2r)^{i-2}$

le terme maximum. Le terme qui le précède sera

${\frac {i(i-1)\ldots (i-r+2)}{1.2.3\ldots (r-1)}}(i-2r+2)^{i-2}\,;$

en égalant donc ces deux termes, on aura

${\frac {i-r+1}{r}}(i-2r)^{i-2}=(i-2r+2)^{i-2}.$

Cette équation donne la valeur de $r$ et, par conséquent, le rang que le terme le plus grand occupe dans la série. Si l’on prend les logarithmes des deux membres, on a

$\log {\frac {i-r+1}{r}}=(i-2)\log \left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right)$

ou

$(b)\qquad \log {\frac {i-r}{r}}+\log \left(1+{\frac {1}{i-r}}\right)=(i-2)\log \left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right)\,;$

or on a, lorsque $i$ et $r$ sont de très grands nombres,

${\begin{aligned}\log \left(1+{\frac {1}{i-r}}\right)\ \ =&{\frac {1}{i-r}}\ \ -{\frac {1}{2(i-r)^{2}}}+\ldots ,\\\log \left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right)=&{\frac {2}{i-2r}}-{\frac {2}{(i-2r)^{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$