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vraie en séries ordonnées suivant ses puissances. Mais, si l’excentricité qui, dans les orbes elliptiques, ne surpasse jamais l’unité, en devenait fort approchante, on conçoit que les séries pourraient cesser d’être convergentes. Il importe donc de connaître si parmi les valeurs comprises entre zéro et l’unité, que l’excentricité peut avoir, il en est une au-dessus de laquelle ces séries seraient divergentes, et dans ce cas, de la déterminer. Prenons pour unité le demi grand axe de l’ellipse ; désignons par $e$ son excentricité, par $t$ l’anomalie moyenne comptée du périgée, et par $\mathrm {R}$ le rayon vecteur. On aura, par le n^o 22 du second Livre de la Mécanique céleste,

${\begin{aligned}\mathrm {R} =1&+{\frac {e^{2}}{2}}-e\cos t\\&-{\frac {e^{2}}{1.2}}\cos 2t\\&-{\frac {e^{3}}{1.2.2^{2}}}(3\cos 3t-3\cos t)\\&-{\frac {e^{4}}{1.2.3.2^{3}}}\left(4^{2}\cos 4t-4.2^{2}\cos 2t\right)\\&-{\frac {e^{5}}{1.2.3.4.2^{4}}}\left(5^{3}\cos 5t-5.3^{3}\cos 3t+{\frac {5.4}{1.2}}\right)\cos t)\\&-{\frac {e^{6}}{1.2.3.4.5.2^{5}}}\left(6^{4}\cos 6t-6.4^{4}\cos 4t+{\frac {6.5}{1.2}}2^{4}\right)\cos 2t)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Le terme général de cette expression est

${\begin{aligned}-{\frac {e^{i}}{1.2.3(i-1)2^{i-1}}}&\left[i^{i-2}\cos it-i(i-2)^{i-2}\cos(i-2)t\right.\\&\quad +{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i-2}\cos(i-4)t\\&\quad -{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3}}(i-6)^{i-2}\cos(i-6)t\\&\quad +\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\,;\end{aligned}}$

la série étant continuée jusqu’à ce que l’on arrive à un facteur $(i-2r)^{i-2}$ dans lequel $i-2r$ soit négatif. Si l’on fait $t$ égal à un angle droit, ce terme devient nul lorsque $i$ est impair ; et, dans le cas de $i$ pair, il