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négligeant le carré de $x,$

$2\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{{\overline {r}}\,'^{3}}}(1+3h)\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {\sin ^{2}\varepsilon '}{\cos ^{4}{\frac {\varepsilon '}{2}}}}\right)\cos ^{4}{\frac {\varepsilon '}{2}}$

$+2x{\frac {hl}{m'}}\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{{\overline {r}}\,'^{3}}}(1+3h)\cos ^{4}{\frac {\varepsilon '}{2}}-2x\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{{\overline {r}}\,'^{3}}}(1+3h){\frac {{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon '}{\cos ^{4}{\frac {\varepsilon '}{2}}}}\cos ^{4}{\frac {\varepsilon '}{2}},$

${\overline {r}}$ étant la moyenne distance de la Lune. Or on a, à très peu près, en ayant égard à l’équation du centre et à l’évection,

${\frac {hl}{m'}}+1={\frac {{\overline {r}}\,'^{2}}{r'^{2}}}\,;$

ensuite

$1+3h={\frac {{\overline {r}}\,'^{3}}{r'^{3}}}.$

L’expression précédente devient ainsi

$2\mathrm {B} {\frac {\mathrm {L} '}{{\overline {r}}\,'^{3}}}p'{\frac {{\overline {r}}\,'^{3}}{r'^{3}}}+2\mathrm {B} {\frac {\mathrm {L} '}{{\overline {r}}\,'^{3}}}x{\frac {{\overline {r}}\,'^{5}}{r'^{5}}}p'\cos ^{4}{\frac {\varepsilon '}{2}},$

$p'$ étant le carré du cosinus de la déclinaison de la Lune à l’instant de la syzygie. Il suit de là que l’on aura la première partie de l’effet du changement de la distance lunaire : 1^o en multipliant dans chaque syzygie le carré du cosinus de la déclinaison de la Lune, à l’instant de la syzygie, par le cube du rapport de son demi-diamètre vrai à son demi-diamètre moyen égal à $2881''{,}8\,;$ 2^o en faisant une somme de ces produits relatifs aux douze syzygies périgées que nous avons considérées et dans chacune desquelles le demi-diamètre vrai a surpassé $3000'',$ les syzygies dont on a doublé les résultats comptant toujours pour deux ; 3^o en retranchant de cette somme la somme des mêmes produits relatifs aux douze syzygies apogées ; 4^o enfin, en multipliant la différence de ces deux sommes par $2\mathrm {B} {\frac {\mathrm {L} '}{{\overline {r}}\,'^{3}}}.$ On trouve ainsi pour ce produit

$4{,}59027.2\mathrm {B} {\frac {\mathrm {L} '}{{\overline {r}}\,'^{3}}}.$