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l’action des astres n’était point accrue par la rapidité de leur mouvement. Mais on a vu précédemment que cette augmentation, que nous avons désignée par $x,$ est ${\frac {1}{9}}$ environ pour la Lune, d’où il suit que l’on a, à fort peu près, en supposant, comme nous l’avons fait, l’accroissement proportionnel au mouvement de l’astre dans son orbite,

${\begin{aligned}a'h'=&a'h+{\frac {l}{2m'}}xa'h,\\a'h''=&a'h-{\frac {l}{2m'}}xa'h,\end{aligned}}$

et qu’ainsi les trois termes

$a'+a'h'-a'h''$

se réduisent à

$a'+{\frac {l}{m'}}xa'h.$

Le second terme de cette quantité peut être négligé, sans erreur sensible, relativement à l’argument de la variation.

Les trois termes précédents produisent encore, dans l’expression de la hauteur de la marée, la quantité

$-2\left({\frac {s\pi }{n}}\right)^{2}\left[a'(p'-m')^{2}+a'h'\left(p'-m'-{\frac {l}{2}}\right)^{2}-a'h''\left(p'-m'+{\frac {l}{2}}\right)^{2}\right]\,;$

elle se réduit, à très peu près, à

$-2\left({\frac {s\pi }{n}}\right)^{2}\left\{a'(p'-m'-hl)^{2}+x{\frac {l}{m'}}a'h\left[(p'-m')^{2}+{\frac {l^{2}}{4}}\right]^{2}\right\}.$

Ce dernier terme peut être négligé sans erreur sensible. D’ailleurs, $hl$ est l’accroissement de la vitesse angulaire de la Lune, en vertu de l’argument $h\sin(lt-\delta ').$ Il suffit donc, pour avoir égard à cet argument, de prendre pour $m'$ la vitesse angulaire de la Lune au moment de la syzygie.

La valeur de $p'$ est

${\frac {am+a'm'+a''m''+\ldots }{b+a+a'+a''+\ldots }}\,;$