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carrés des cosinus des déclinaisons du Soleil dans les quadratures équinoxiales et solsticiales ; si l’on désigne par $p'_{1}$ et $q'_{1}$ les carrés des cosinus des déclinaisons de la Lune dans les mêmes quadratures ; enfin, si l’on nomme $2i\alpha ''$ et $2i\alpha '''$ ce que devient $2i\alpha$ dans ces quadratures, on aura

${\begin{aligned}2i\alpha ''\ =&2\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}q'_{1}-2\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}p_{1}+(\mathrm {A-B} ){\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}(p_{1}-q_{1})+(\mathrm {A'-B} ){\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}(p'_{1}-q'_{1}),\\2i\alpha '''=&2\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}p'_{1}-2\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}q_{1}-(\mathrm {A-B} ){\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}(p_{1}-q_{1})-(\mathrm {A'-B} ){\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}(p'_{1}-q'_{1}).\end{aligned}}$

J’ai observé, dans le n^o 25 du Livre IV de la Mécanique céleste, que, à raison de l’argument de la variation dans l’expression de la parallaxe lunaire, l’action de la Lune sur la mer est augmentée d’environ ${\frac {1}{40}}$ dans les syzygies et diminuée de la même quantité dans les quadratures. Ayant traité depuis, avec un soin particulier, la théorie de la Lune, dans le septième Livre de la Mécanique céleste, j’ai reconnu que cet accroissement et cette diminution sont un peu plus petits et qu’ils sont environ ${\frac {1}{45}}$ de la valeur moyenne ou, plus exactement, le produit de cette valeur par $0{,}022486,$ lorsque l’on considère, comme nous l’avons fait, autant de pleines que de nouvelles lunes.

Dans les syzygies que nous avons considérées, on a

${\begin{alignedat}{2}p\,\ =&63{,}632467,&\qquad q\,\ =&54{,}260856,\\p'\,=&63{,}546581,&q'\,=&56{,}879696,\\p_{1}=&63{,}635484,&q_{1}=&54{,}301142,\\p'_{1}=&63{,}497242,&q'_{1}=&56{,}962913,\end{alignedat}}$

et, par ce qui précède, on a

${\begin{alignedat}{2}2i\alpha \ \ =&411^{\mathrm {m} }{,}359,\qquad &2i\alpha '\ \ =&367^{\mathrm {m} }{,}468,\\2i\alpha ''=&160^{\mathrm {m} }{,}850,&2i\alpha '''=&203^{\mathrm {m} }{,}948.\end{alignedat}}$

On aura ainsi les quatre équations suivantes :

$(1)\left\{{\begin{aligned}411^{\mathrm {m} }{,}359=&63{,}546581.1{,}022486.2\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}+63{,}632467.2\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}\\-&3{,}333442.2(\mathrm {A'-B} ).1{,}022486{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}-4{,}685805.2(\mathrm {A-B} ){\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}},\end{aligned}}\right.$