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et lunaire à l’instant de la syzygie, on aura

${\begin{aligned}2\mathrm {A} &{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}\cos ^{4}{\frac {\varepsilon }{2}}+\mathrm {B} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon \cos 2mt'\\&=2q\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}+(\mathrm {A-B} ){\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon \cos 2mt'',\\2\mathrm {A} '&{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}\cos ^{4}{\frac {\varepsilon '}{2}}+\mathrm {B} {\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon '\cos(2m't'-2\delta )\\&=2q'\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}-(\mathrm {A'-B} ){\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon '\cos(2m't''-2\delta ).\end{aligned}}$

On peut supposer que, dans l’ensemble des syzygies considérées ci-dessus, la somme des cosinus de $2mt'$ \varepsilonst égale à la somme des cosinus de $2mt'',$ et que la somme des cosinus de $2mt'-2\delta$ égale la somme des cosinus de $2m't''-\delta ,$ parce que ces angles diffèrent peu de l’unité, et parce que leurs cosinus sont multipliés dans les expressions précédentes par les très petits facteurs

$(\mathrm {A-B} )\sin ^{2}\varepsilon \quad {\text{et}}\quad (\mathrm {A'-B} )\sin ^{2}\varepsilon '.$

En supposant donc que $p$ et $q$ expriment les sommes des carrés des cosinus des déclinaisons du Soleil aux instants des syzygies équinoxiales et solsticiales, et que $p'$ et $q'$ expriment les mêmes sommes pour la Lune, la somme des quantités $\sin ^{2}\varepsilon \cos 2mt'$ sera $p-q,$ et la somme des quantités $\sin ^{2}\varepsilon '\cos(2mt'-2\delta )$ sera $p'-q'.$

On aura donc, dans les syzygies équinoxiales,

$2i\alpha =2\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}p+2\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}p'-(\mathrm {A-B} )(p-q){\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}-(\mathrm {A'-B} )(p'-q'){\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}},$

et, dans les syzygies solsticiales,

$2i\alpha '=2\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}q+2\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}q'+(\mathrm {A-B} ){\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}(p-q)+(\mathrm {A'-B} ){\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}(p'-q'),$

$2i\alpha '$ étant la valeur de $2i\alpha$ relative aux syzygies solsticiales.

Dans les quadratures, la haute marée lunaire coïncide avec la basse marée solaire, ce qui revient à supposer ${\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}$ négatif dans les expressions précédentes. De là il suit que, si l’on désigne par $p_{1}$ et $q_{1}$ les