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Pareillement,

$\cos(2mt-2\gamma -2\delta )=\cos(2mt'-2\delta )\,;$

ainsi les cosinus de l’expression de ${\text{ϐ}}'$ se rapportent à l’instant même de la syzygie, ce qui a également lieu pour les marées quadratures.

Soit $p$ le carré du cosinus de la déclinaison du Soleil, à l’instant de la syzygie ; on aura, par ce qui précède,

$p={\frac {1+\cos ^{2}\varepsilon }{2}}+{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon \cos 2mt'\,;$

or on a

$\cos ^{4}{\frac {\varepsilon }{2}}={\frac {1+\cos ^{2}\varepsilon }{2}}-\sin ^{4}{\frac {\varepsilon }{2}}.$

En négligeant donc, comme nous l’avons fait, $\sin ^{4}{\frac {\varepsilon }{2}},$ on aura

${\begin{aligned}2\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}&\cos ^{4}{\frac {\varepsilon }{2}}+\mathrm {B} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon \cos 2mt'\\&=2\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}p-(\mathrm {A'-B} ){\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon \cos 2mt'.\end{aligned}}$

En nommant pareillement $p'$ le carré du cosinus de la déclinaison de la Lune à l’instant de la syzygie, on aura

${\begin{aligned}2\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}&\cos ^{4}{\frac {\varepsilon '}{2}}+\mathrm {B} {\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon '\cos(2m't'-2\delta )\\&=2\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}p'-(\mathrm {A'-B} ){\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon '\cos(2m't'-2\delta ).\end{aligned}}$

Dans les syzygies des solstices, $mt'$ et $m't'$ sont augmentés de ${\frac {\pi }{2}}.$ En désignant donc par ${\frac {\pi }{2}}+mt''$ et ${\frac {\pi }{2}}+m't''$ les angles $mt'$ et $m't',$ ce qui revient à compter du solstice les arcs $mt''$ et $m't'',$ on aura

${\begin{aligned}&\cos 2mt'=-\cos 2mt'',\\&\cos(2mt'-2\delta )=-\cos 2(m't''-\delta ).\end{aligned}}$

En désignant par $q$ et $q'$ les carrés des cosinus des déclinaisons solaire