éprouve, est périodique comme les forces qui l’animent. Ce principe, combiné avec celui de la coexistence des oscillations très petites, explique, d’une manière singulièrement heureuse, tous les phénomènes des marées, indépendants des circonstances locales. Les forces productrices de ces phénomènes, relatives à l’action d’un astre
sont, comme on le voit dans le no 16 du Livre IV de la Mécanique céleste, exprimées par les différences partielles de la fonction
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad {\frac {3\mathrm {L} }{2r^{3}}}\left[\sin v\cos \theta +\cos v\sin \theta \cos(nt+\omega -\psi )\right]^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1808ca6b1c3c69f959bf9d8d6387de999d4e3fc)
en désignant par
la masse de l’astre, par
sa distance au centre de la Terre, par
sa déclinaison, par
son ascension droite comptée de l’intersection de son orbite avec l’équateur, et par
sa distance angulaire à cette intersection :
est l’angle horaire de cette intersection et
est le complément de la latitude du port. Soit
l’inclinaison de l’orbite à l’équateur ; on aura, par les formules de la Trigonométrie sphérique,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin v=&\sin \varepsilon \sin \varphi ,\\\cos v\sin \psi =&\cos \varepsilon \sin \varphi ,\\\cos v\cos \psi =&\cos \varphi ,\\\cos ^{2}v=&{\frac {1}{2}}\left(1+\cos ^{2}\varepsilon \right)+{\frac {1}{2}}\sin \varepsilon \cos 2\varphi ,\\\cos ^{2}v\sin 2\psi =&\cos \varepsilon \sin 2\varphi ,\\\cos ^{2}v\cos 2\psi =&{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon +{\frac {1}{2}}\left(1+\cos ^{2}\varepsilon \right)\cos 2\varphi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab93e9cacc22f4d0c200aa466eb51836bfde872)
La formule (a) devient ainsi
![{\displaystyle {\frac {3\mathrm {L} }{2r^{3}}}\left[{\frac {1}{2}}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\theta \left(1+\cos ^{2}\varepsilon \right)-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon \left(\cos ^{2}\theta -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta \right)\cos 2\varphi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27288bfbe5ead2f546f492f9772304e796a1380)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}+{\frac {3\mathrm {L} }{2r^{3}}}\sin \theta \cos \theta &\left[{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\sin \varepsilon \cos \varepsilon \sin(nt+\omega )\right.\\&-{\frac {1}{2}}\sin \varepsilon (1+\cos \varepsilon )\sin(nt+\omega -2\varphi )\\&+\left.{\frac {1}{2}}\sin \varepsilon (1-\cos \varepsilon )\sin(nt+\omega +2\varphi )\right]\\+{\frac {3\mathrm {L} }{4r^{3}}}\sin ^{2}\theta \quad \ \ &\left[\ \cos ^{4}{\frac {\varepsilon }{2}}\cos(2nt+2\omega -2\varphi )\right.\\&\left.+\sin ^{4}{\frac {\varepsilon }{2}}\cos(2nt+2\omega +2\varphi )+{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon \cos(2nt+2\omega )\right].\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330f8f97fc8883c713dff3653a77ddf62c149033)