Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/500

numéro, au moyen des carrés des erreurs de chaque observation ; mais on obtiendra sa valeur d’une manière beaucoup plus simple et suffisamment exacte par le procédé suivant.

Nommons $a,a^{(1)},a^{(2)},\ldots$ les valeurs de $\zeta$ relatives à chacune des huit années, et désignons par $b$ la moyenne de ces valeurs ou la valeur de $\zeta \,;$ $u'$ étant l’erreur de cette valeur, celle de la valeur $a$ sera $b-a+u'\,:$ en supposant donc que l’erreur $r$ des valeurs de $a,a^{(1)},\ldots$ soit proportionnelle à l’exponentielle $e^{-kr^{2}},$ la probabilité de l’erreur $b-a+u'$ sera proportionnelle à

$e^{-k(b-a+u')^{2}}.$

Elle sera donc égale à

${\frac {du'{\sqrt {k}}e^{-k(b-a+u')^{2}}}{\int du'{\sqrt {k}}e^{-k(b-a+u')^{2}}}},$

l’intégrale du dénominateur étant prise depuis $u'=-\infty$ jusqu’à $u'=\infty ,$ ce qui donne ${\sqrt {\pi }}$ pour cette intégrale, $\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. En effet, la somme de ces probabilités relatives à toutes les valeurs possibles de $u'$ doit être l’unité. La probabilité de l’erreur $b-a+u'$ est donc proportionnelle à

${\sqrt {k}}e^{-k(b-a+u')^{2}}.$

Pareillement $b-a^{(1)}+u'$ est l’erreur de la valeur $a^{(1)},$ et la probabilité de cette erreur est proportionnelle à

${\sqrt {k}}e^{-k(b-a^{(1)}+u')^{2}},$

et ainsi de suite. La probabilité des erreurs simultanées $b-a+u',$ $b-a^{(1)}+u',\ldots$ sera donc proportionnelle au produit des probabilités de ces erreurs, produit égal à

$k^{\frac {n}{2}}e^{-k\left[(b-a+u')^{2}+\left(b-a^{(1)}+u'\right)^{2}+\ldots \right]}$

ou à,

$k^{\frac {n}{2}}e^{-k\left[(b-a)^{2}+\left(b+a^{(1)}\right)^{2}-\ldots \right]-nku'^{2}}.$

La probabilité de $k$ sera proportionnelle à l’intégrale de cette fonction