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Cette formule doit coïncider avec celle-ci

$(b)\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \zeta ''-{\frac {\zeta '^{2}}{4\zeta }}+\zeta \left(t+{\frac {\zeta '}{2\zeta }}\right)^{2}\,;$

on a donc

${\frac {\zeta '}{2\zeta }}=-{\frac {9}{8}}+k-u,$

ce qui donne

$u=-{\frac {\zeta '}{2\zeta }}-{\frac {9}{8}}+k.$

En substituant les valeurs précédentes de $\zeta '$ et de $\zeta ,$ on a

$u=1{,}34096+k.$

Dans les syzygies précédentes, le retard journalier des marées a été $0^{\mathrm {j} }{,}026736,$ en sorte que l’intervalle pris pour unité est $1^{\mathrm {j} }{,}026736\,;$ on a ainsi, en parties du jour

$1{,}34096=1^{\mathrm {j} }{,}37682.$

La valeur moyenne $k$ dont les syzygies ont précédé les marées du soir est $0^{\mathrm {j} }{,}10417\,;$ on a ainsi

$u=1^{\mathrm {j} }{,}48099.$

Cette valeur diffère peu de la valeur $1^{\mathrm {j} }{,}50724$ à laquelle je suis parvenu dans le n^o 24 du Livre IV de la Mécanique céleste.

La comparaison des expressions $(a)$ et $(b)$ donne

${\begin{aligned}2i{\text{ϐ}}=&\quad 8{,}9446,\\2i\alpha =&411{,}359.\end{aligned}}$

Le nombre $i$ des syzygies employées est ici égal à $64,$ en comptant pour deux les syzygies intermédiaires dont on a doublé les résultats.

II. Pour que l’on puisse apprécier la régularité des résultats des observations des marées dans le port de Brest, je vais déterminer la loi de probabilité des erreurs dont la valeur précédente de $2i{\text{ϐ}}$ est susceptible, et pour cela je vais conclure cette valeur correspondante aux observations de chaque année. En désignant par$f,f',f'',\ldots$ les