Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/481

$\mathrm {B}$ étant une arbitraire, et en observant que ${\frac {d^{2}\rho '}{da^{2}}}=-n^{2}\rho '.$ Cette expression donne, en substituant pour $\rho '$sa valeur $\mathrm {A} \sin an,$

$h=\mathrm {B} \left({\frac {n^{2}\operatorname {tang} an}{\operatorname {tang} an-na}}-{\frac {3}{a^{2}}}\right),$

expression qui devient nulle au centre. On voit, par le n^o 30 du Livre cité, que cette expression de $h$ est la seule admissible dans la question présente ; par le même numéro, l’ellipticité de la Terre est à la surface, où $a=1,$

${\frac {\alpha \varphi h\int \rho 'ada}{2h\int \rho 'ada-{\cfrac {2}{5}}a^{5}h\pi +{\cfrac {2}{5}}\int a^{5}hd\pi }},$

les intégrales étant prises depuis $a$ nul ; $\alpha \varphi$ est le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur. Substituant, au lieu de $hd\rho ,$ $-{\frac {hn^{2}}{a^{2}}}da\int \rho 'ada,$ et, au lieu de $h\int \rho 'ada,$ sa valeur précédente, on aura

$\int a^{5}hd\pi =-n^{2}\mathrm {B} \int a^{3}\left(\rho '-{\frac {3\rho '}{n^{2}a^{2}}}+{\frac {3d\rho '}{n^{2}ada}}\right)da\,;$

on aura facilement cette intégrale, en observant que l’on a généralement

$\int a^{i}\rho 'da=-{\frac {1}{n^{2}}}\int a^{i}{\frac {d^{2}\rho '}{da}},$

et en intégrant par parties. On trouvera ainsi à la surface de la Terre, où $a=1,$ l’ellipticité égale à

${\frac {{\cfrac {5}{2}}\alpha \varphi \left(1-{\cfrac {3q}{n^{2}}}\right)}{3-q-{\cfrac {n^{2}}{q}}}}.$

Je dois observer ici que M. Legendre a déjà déterminé l’aplatissement de la Terre, dans le cas où la densité $\rho$ des couches est exprimée par ${\frac {\mathrm {A} }{a}}\sin an$ (Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1789).

En combinant les phénomènes de la précession et de la nutation avec les inégalités lunaires dépendantes de l’aplatissement de la Terre et avec les observations des degrés des méridiens et de la pesanteur.