En différentiant, on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\rho '}{da^{2}}}+a^{2}\rho '=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a08ba89f47c810a8ac24fddb9aeca736549d6f)
L’intégrale de cette équation est
![{\displaystyle \rho '=\mathrm {A} \sin an+\mathrm {B} \cos an,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528aebd7cd5b6ce6d2999d7913bc80999b5a94fd)
et
étant deux constantes arbitraires ; on aura donc
![{\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {A} }{a}}\sin an+{\frac {\mathrm {B} }{a}}\cos an.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3981b3a9a005e483e4ddba67f5a95338655a6954)
La densité n’étant point infinie au centre où
est nul, on a
![{\displaystyle \mathrm {B} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3828ef3babb253c8f5351333a79fe6b448e3e1d)
par conséquent
![{\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {A} }{a}}\sin an.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea96b5ede2539748b4c2edb1983d2b15f6f79d86)
Telle est donc la loi de densité des couches du sphéroïde terrestre relative à la loi supposée entre la pression et la densité. À la surface de la Terre, où nous supposerons
on a
![{\displaystyle \rho =\mathrm {A} \sin n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d41b342a4c32a8658ae65463585d1699ce1a72)
![{\displaystyle {\frac {d\rho }{da}}=-\mathrm {A} \sin n\left(1-{\frac {n}{\operatorname {tang} n}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b0b2b20119d97af5d0e65433b4895cb4305148)
En faisant donc à cette surface
![{\displaystyle {\frac {-{\cfrac {dp}{da}}}{\rho }}=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1874f0847d5b0ae631e561be149cbb81591eca)
on aura
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad q=1-{\frac {n}{\operatorname {tang} n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964f5c9a61914e1bd8a68b0bcbea0d8ce78efe38)
Si l’on nomme
la moyenne densité de la Terre, on aura
![{\displaystyle \int \rho a^{2}da=\mathrm {D} \int a^{2}da={\frac {1}{3}}\mathrm {D} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9339e981f0a8d0fc63faea05789ff3257ea42a)
Or l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\rho }{da}}={\frac {-n^{2}}{a^{2}}}\int \rho a^{2}da}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8237fb8b7c53d03942d0830678b733f0feb88d8)