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supposée la même. Soient $x',y',\zeta '$ les coordonnées d’une molécule $dm$ de la mer, dans ce premier état, et rapportées aux nouveaux axes principaux ; la mer ne sera plus alors en équilibre, mais elle prendra un second état d’équilibre autour du nouvel axe de rotation. Soient alors $x'',y'',\zeta ''$ les coordonnées d’une molécule $dm$ de la mer ; il est facile de voir que les valeurs des fonctions

$\int x''y''dm-\int x'y'dm,\ \ \int x''\zeta ''dm-\int x'\zeta 'dm,\ \ \int y''\zeta ''dm-\int y'\zeta 'dm$

s’opposent à ce que ce nouvel axe soit un axe principal : or $x'',y'',\zeta ''$ ne diffèrent de $x',y',\zeta '$ que de quantités de l’ordre $\rho ,$ puisque leur différence est due à l’écart du second axe de rotation du premier, écart qui serait nul avec $\rho ,$ et qui est par conséquent de l’ordre $\rho .$ Les valeurs des fonctions précédentes sont donc de l’ordre $\rho ^{2}.$ Prenons encore pour troisième axe fixe de rotation l’axe principal du corps formé par le sphéroïde terrestre et par la mer dans son second état d’équilibre. Ce troisième axe ne s’écartera du second que d’une quantité de l’ordre $\rho ^{2},$ car les valeurs qu’il faut détruire par un déplacement du second axe pour en former un axe principal étant de cet ordre, ce déplacement sera du même ordre. Soient $x''',y''',\zeta ''$ les coordonnées d’une molécule $dm$ de la mer dans son second état d’équilibre et rapportées au troisième axe de rotation. Soient, de plus, $x^{\text{ıv}},y^{\text{ıv}},\zeta ^{\text{ıv}}$ les coordonnées de cette molécule dans le troisième état d’équilibre ; les valeurs des fonctions

$\int x^{\text{ıv}}y^{\text{ıv}}dm-\int x'''y'''dm,\ \int x^{\text{ıv}}\zeta ^{\text{ıv}}dm-\int x'''\zeta '''dm,\ \int y^{\text{ıv}}\zeta ^{\text{ıv}}dm-\int y'''\zeta '''dm$

s’opposent à ce que le troisième axe de rotation soit un axe principal. Mais l’écart de ce troisième axe du second n’étant que de l’ordre $\rho ^{2},$ $x^{\text{ıv}},y^{\text{ıv}},\zeta ^{\text{ıv}}$ ne diffèrent de $x''',y''',\zeta '''$ que de quantités de cet ordre ; les valeurs des fonctions précédentes sont donc de l’ordre $\rho ^{3}$ En continuant ainsi, on voit que ces fonctions décroissent sans cesse, et qu’à leurs limites l’axe de rotation devient un axe principal, la mer étant en équilibre, ce qui démontre la possibilité d’un pareil axe. Son existence est prouvée par toutes les observations astronomiques suivant lesquelles les hauteurs du pôle sont invariables, et qui, de plus, font voir que les mouvements primitifs de