çoit deux sphéroïdes dont les rayons soient
et
le plateau sera évidemment l’excès du second sphéroïde sur le premier, plus la partie de la différence des deux sphéroïdes correspondante à
négatif. Soient, relativement aux deux sphéroïdes et à cette partie de leur différence,
les sommes de leurs molécules divisées par leurs distances au point attiré de l’atmosphère ; on aura l’équation de l’équilibre de cette atmosphère, en augmentant, dans l’équation (1),
de la quantité
En différenciant le second membre de cette équation par rapport à
et le divisant par
on aura l’expression de la pesanteur
à la surface de l’atmosphère. On retranchera ensuite de cette expression le second membre de l’équation (1), multipliée par
et l’on observera que, relativement à un sphéroïde quelconque de la densité
on a, par ce qui précède,
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} =2\alpha \pi \rho _{1}h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf3db7fe1b19b9cfd77599d9100c5cb41eaee10)
étant la hauteur du point attiré au-dessus de la surface du sphéroïde ; ce qui donne, en représentant par
la densité du plateau,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {V} {\underset {'}{\,}}}{\partial r}}\ +{\frac {1}{2}}\mathrm {V} {\underset {'}{\ }}=&2\alpha \pi \left(y_{1}+y'''\right),\\{\frac {\partial \mathrm {V} {\underset {''}{\,}}}{\partial r}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} {\underset {''}{\,}}=&2\alpha \pi \rho _{1}y'''\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c94c2aa85357c0ec1c8653c87dedf7fb5efa687)
on a ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {V} {\underset {'''}{\,}}}{\partial r}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} {\underset {'''}{\,}}=&0,\\{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial r}}\ +{\frac {1}{2}}\mathrm {V} '\ =&0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84476be5bf9c5358a676036f66eb5eefe45665d8)
on aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}p'=\mathrm {const} .&-2\alpha \pi \left({\overline {y}}_{1}+y_{1}+y'''\right)\int \rho da^{3}\\&+2\alpha \pi \int \rho d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}+a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}+a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}+\ldots \right)\\&+2\alpha \pi \rho _{1}y_{1}+{\frac {5}{4}}\alpha \varphi \mathrm {P} \mu ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c553768bf34709164f23e01b812e3bd40142b04d)
Si l’on désigne par
la pesanteur à la surface du plateau, il faudra,