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Enfin, par un milieu pris entre les résultats des phénomènes des marées, de la nulation, de la parallaxe lunaire et de l’équation lunaire des Tables du Soleil, on trouve

${\text{ϐ}}=2{,}57\,;$

on a donc

$k=-\mathrm {P} .0{,}001736{\frac {\int \rho da^{5}}{\int \rho da^{3}}}.$

Si l’on compare cette valeur de $k$ à celle que nous avons trouvée précédemment par les inégalités lunaires, et qui est

$k=-\mathrm {P} .0{,}0015588,$

on voit que la fraction \frac{\int\rho da^5}{\int\rho da^3} est un peu moindre que l’unité, ce qui doit être, si, conformément aux lois de l’Hydrostatique, la densité $\rho$ des couches terrestres diminue du centre à la surface. Les limites de cette fraction étant zéro et l’unité, les limites de $\mathrm {A}$ sont

$0\quad {\text{et}}\quad -0{,}001736\mathrm {P} .$

Les trois valeurs précédentes de $\mathrm {A}$ sont entre ces limites ; le milieu entre ces trois valeurs donne, à fort peu près,

$k=-\mathrm {P} .0{,}00153,$

ce qui donne

$(i)\qquad \qquad \qquad \quad \int \rho da^{3}={\frac {0{,}001736}{0{,}00153}}\int \rho da^{5}.$

Supposons la densité $\rho$ croître en progression arithmétique de la surface au centre, en sorte que $(\rho )$ étant la densité de la couche extérieure du sphéroïde terrestre, la densité d’une de ses couches soit $(\rho )(1+e-ea).$ On aura, en nommant $\mathrm {D}$ la moyenne densité de la Terre,

$\mathrm {D} =\int \rho da^{3}=(\rho )\left(1+{\frac {1}{4}}e\right)\,;$

et l’équation $(i)$ donnera

$\mathrm {D} =1{,}552(\rho ).$

En supposant la densité de la première écorce du sphéroïde ter-