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du Soleil et de la Lune, sera

$-{\frac {\mathrm {N} ^{2}(1+{\text{ϐ}})}{\mathrm {C} n\sin \lambda }}{\frac {d}{d\lambda }}\left[{\frac {4\alpha \pi }{5}}\int \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}+\mathrm {U} _{1}^{(2)}\right)\right]\mathrm {T} .$

En supposant, comme ci-dessus, que la partie indépendante de $\omega ,$ dans la fonction

${\frac {4\alpha \pi }{5}}\int \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}+\mathrm {U} _{1}^{(2)}\right),$

soit $k\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$ $\mu$ sera le sinus de la déclinaison du Soleil. En nommant donc $\varepsilon$ sa longitude, on aura

$\mu =\sin \lambda \sin \varepsilon ,$

ce qui donne

$\mu ^{2}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}\lambda -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\lambda \cos 2\varepsilon .$

En négligeant les quantités périodiques dépendantes de l’angle $\varepsilon ,$ on aura

$\mu ^{2}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}\lambda ,$

et alors l’expression précédente de la précession annuelle devient

$-{\frac {k(1+{\text{ϐ}})\mathrm {N^{2}T} \cos \lambda }{\mathrm {C} n}}\,;$

ainsi, en désignant par $l\mathrm {T}$ la précession annuelle observée, on aura

$k={\frac {-\mathrm {C} nl\mathrm {T} }{\mathrm {NT} (1+{\text{ϐ}})\mathrm {N} \cos \lambda }}.$

On a, pour les n^os 2 et 13 du Livre V de la Mécanique céleste,

$\mathrm {\frac {C}{P}} ={\frac {2}{5}}{\frac {\int \rho da^{5}}{\int \rho da^{3}}},$

$\mathrm {P}$ étant toujours la pesanteur, qui est à très peu près égale à la masse de la Terre, son rayon étant pris pour l’unité. On a ensuite, en secondes décimales,

$l\mathrm {T} =155''{,}20,\qquad \mathrm {NT} =3999930''\,;$

on a, de plus,

${\frac {\mathrm {N} }{n}}=0{,}00273033.$