du Soleil et de la Lune, sera
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {N} ^{2}(1+{\text{ϐ}})}{\mathrm {C} n\sin \lambda }}{\frac {d}{d\lambda }}\left[{\frac {4\alpha \pi }{5}}\int \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}+\mathrm {U} _{1}^{(2)}\right)\right]\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0819595a3e2dbbf75d12b51bdb39f2a4b20bdcb0)
En supposant, comme ci-dessus, que la partie indépendante de
dans la fonction
![{\displaystyle {\frac {4\alpha \pi }{5}}\int \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}+\mathrm {U} _{1}^{(2)}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635ecf918065d59db0e2f7cc37657b92b719662c)
soit
sera le sinus de la déclinaison du Soleil. En nommant donc
sa longitude, on aura
![{\displaystyle \mu =\sin \lambda \sin \varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2525a1827e5149582a60e96a20ee896043b55d6c)
ce qui donne
![{\displaystyle \mu ^{2}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}\lambda -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\lambda \cos 2\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd410d0999f386783505a3944b0b7d1e2a27a8be)
En négligeant les quantités périodiques dépendantes de l’angle
on aura
![{\displaystyle \mu ^{2}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ceaa6fc487914ee071bd75efb68af6cd92d1313)
et alors l’expression précédente de la précession annuelle devient
![{\displaystyle -{\frac {k(1+{\text{ϐ}})\mathrm {N^{2}T} \cos \lambda }{\mathrm {C} n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64716b2660b8bedafdb60301339751cc059d5737)
ainsi, en désignant par
la précession annuelle observée, on aura
![{\displaystyle k={\frac {-\mathrm {C} nl\mathrm {T} }{\mathrm {NT} (1+{\text{ϐ}})\mathrm {N} \cos \lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85c4bbfdc94c917c03d4a6a5aaa79db12cae2a7)
On a, pour les nos 2 et 13 du Livre V de la Mécanique céleste,
![{\displaystyle \mathrm {\frac {C}{P}} ={\frac {2}{5}}{\frac {\int \rho da^{5}}{\int \rho da^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f40dc33de448c40f6ff604471e86549ab82660)
étant toujours la pesanteur, qui est à très peu près égale à la masse de la Terre, son rayon étant pris pour l’unité. On a ensuite, en secondes décimales,
![{\displaystyle l\mathrm {T} =155''{,}20,\qquad \mathrm {NT} =3999930''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1436f91d18e517137d637a7e3265b41638c224)
on a, de plus,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} }{n}}=0{,}00273033.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12704082c8782eba954815ef8ebb58039dd82516)