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alors l’équation (1) du n^o I deviendra celle de cette surface, en y changeant $\mathrm {V} '$ en $\mathrm {V} _{1}$ et en y substituant $1+\alpha y''+\alpha {\overline {y}}$ pour $r.$ Or on a

$\mathrm {V} '=\int {\frac {\alpha y'd\mu 'd\omega '}{\sqrt {r^{2}-2r\lambda +1}}},$

l’intégrale étant prise pour toutes les valeurs de $\mu '$ et de $\omega '$ relatives à l’étendue de la mer, $r$ devant être supposé égal à l’unité, et $\cos \gamma$ étant

$\mu \mu '+{\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\sqrt {1-\mu '^{2}}}\cos(\omega '-\omega ).$

En développant le radical, relativement aux puissances de ${\frac {1}{r}},$ on voit, par ce qui précède, que $\mathrm {V} '$ est composé de termes de la forme

${\text{ϐ}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\mu ^{i-n}-\ldots \right)\int y'd\mu 'd\omega '\cos n(\omega '-\omega )\left(1-\mu '^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\mu ^{'i-n}-\ldots \right).$

La valeur de $\mathrm {V} _{1}$ se compose exactement des mêmes termes ; on a donc

$\mathrm {V'=V_{1}} .$

Cela posé, si l’on retranche l’une de l’autre les équations relatives aux deux surfaces, on aura

$\alpha y''=\mathrm {const} .+\alpha y',$

pourvu que les coordonnées $\mu$ et $\omega$ de la fonction $y'$ se rapportent au point de la surface de l’atmosphère que nous considérons.

Pour avoir l’expression de la pesanteur, il faut changer, dans l’équation (1), $\mathrm {V} '$ dans $\mathrm {V} _{1}\,;$ mais on ne peut pas supposer

${\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial r}}={\frac {\partial \mathrm {V} _{1}}{\partial r}},$

à cause de la grandeur que le radical acquiert lorsque $\cos \gamma =1$ dans la fonction ${\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial r}}.$ Pour avoir la valeur de ${\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial r}},$ nous observerons qu’elle égale, par ce qui précède,

${\frac {\partial \mathrm {V} ''}{\partial r}}-4\alpha \pi \left(\mathrm {Y^{'(0)}+2{\frac {Y^{'(1)}}{3}}+3{\frac {Y^{'(2)}}{5}}} +\ldots \right),$