suivant les puissances de
à une série convergente et finie, à cause du diviseur
Or
étant le coefficient de
dans ce développement, on a, par le no 15 du Livre III de la Mécanique céleste,
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(i)}=2\left[{\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30526834cacac200a781f0ad27103628b2f2ba18)
![{\displaystyle \qquad \times \sum \left\{{\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-n+1)}{(i+1)(i+2)\ldots (i+n)}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a5bd38fac3b45e8504c59ceb503e2d2f991211)
![{\displaystyle \times \left[\mu ^{i-n}-{\frac {(i-n)(i-n-1)}{2(2i-1)}}\mu ^{i-n-2}+\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aff46187c03ea5d70854c16c6023b1bde4a13e4)
![{\displaystyle \left.\times \left(1-\mu '^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left[\mu ^{'i-n}-{\frac {(i-n)(i-n-1)}{2(2i-1)}}\mu ^{'i-n-2}+\ldots \right]\cos n(\omega '-\omega )\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0570add9f2de9093f9482c767fd7efee9bed8a0)
le signe
comprenant toutes les valeurs de la fonction qu’il enveloppe, depuis
jusqu’à
Dans le cas de
il ne faut prendre que la moitié de cette fonction. La première approximation nous a donné
sous cette forme
![{\displaystyle \mathrm {Y^{'(0)}+Y^{'(1)}+Y^{'(2)}} +\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ebacad74e25aa312972a841973e694ecf3b1ff)
en la prenant négativement et en y changeant
en
on aura la valeur de
qui, substituée dans l’intégrale
![{\displaystyle \int {\frac {\alpha y_{1}d\mu 'd\omega '}{\sqrt {r^{2}-2r\lambda +1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36e653b41d99de76cddb2c90b755dd298f39233)
développée par rapport aux puissances de
donne, par une série fort convergente, cette intégrale, et par conséquent la valeur de
On aura ainsi, au moyen de l’équation (4), une seconde approximation de
et, au moyen de l’équation (6), une seconde approximation de la pesanteur
Ces approximations seront suffisantes, vu le peu de densité de la mer et son peu de profondeur, comme on le verra bientôt.
III. Considérons présentement les phénomènes de la pesanteur et de la variation des degrés à la surface des continents ou du sphéroïde terrestre. Ces phénomènes sont, en effet, les seuls de ce genre que nous puissions observer. Pour en avoir l’expression analytique, imaginons une atmosphère infiniment rare, très peu élevée, mais qui