Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/442

l’intégrale étant prise depuis $\omega =0$ jusqu’à $\omega =\pi .$ En faisant donc

${\frac {x-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}=\zeta {\sqrt {-1}},$

on aura

${\frac {1}{1.2.3\ldots i}}{\frac {d^{i}}{dx^{i}}}{\frac {1}{\sqrt {1-2\lambda x+x^{2}}}}$

$={\frac {1}{\pi \left({\sqrt {-1}}\right)^{i}}}\int _{0}^{\pi }d\omega \left(\lambda {\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cos \omega \right)^{i}.$

L’intégrale précédente est égale à cette même intégrale prise depuis $\omega$ nul jusqu’à $\omega ={\frac {\pi }{2}},$ plus à l’intégrale

$\int _{0}^{\pi }d\omega '\left(\lambda {\sqrt {-1}}-{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cos \omega '\right)^{i},$

comme il est facile de s’en assurer en changeant $\omega$ en $\pi -\omega ',$ au delà de $\omega ={\frac {\pi }{2}}.$ Soit donc $\gamma ={\frac {\pi }{2}}-\gamma ',$ ce qui donne

$\lambda =\sin \gamma ',$

on aura

${\frac {1}{1.2.3\ldots i}}{\frac {d^{i}}{dx^{i}}}{\frac {1}{\sqrt {1-2\lambda x+x^{2}}}}={\frac {1}{\pi \left({\sqrt {-1}}\right)^{i}}}$

$\times \int _{0}^{\pi }d\omega \left[\left({\sqrt {-1}}\sin \gamma '+\cos \gamma '\cos \omega \right)^{i}+\left({\sqrt {-1}}\sin \gamma '-\cos \gamma '\cos \omega \right)^{i}\right].$

On peut mettre le second membre de cette équation sous cette forme

$(q)\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{\pi \left({\sqrt {-1}}\right)^{i}}}\int d\omega \left\{{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\left(\cos i\gamma '+{\sqrt {-1}}\sin i\gamma '\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \times \left[1-2\left(\cos \gamma '-{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\cos \gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right]^{i}\\&+(-1)^{i}\left(\cos i\gamma '-{\sqrt {-1}}\sin i\gamma '\right)\\&\qquad \qquad \qquad \left.\times \left[1-2\left(\cos \gamma '+{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\cos \gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right]^{i}\right\}.\end{aligned}}\right.$

On a généralement

$(1-q)^{i}=e^{i\log(1-q)}=e^{-iq\left(1+{\frac {q}{2}}+{\frac {q^{2}}{3}}+\ldots \right)},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; $i$ étant infini, cette exponentielle est nulle ou se réduit à $e^{-iq}.$ En effet, lorsqu’elle n’est pas nulle, $iq$ est une quantité finie ou infiniment petite.