Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/441

point attiré ; $\gamma$ est l’angle compris entre les rayons terrestres menés à ces deux points, en sorte que l’on a

$\cos \gamma =\mu \mu '+{\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\sqrt {1-\mu '^{2}}}\cos(\omega '-\omega )\,;$

l’intégrale précédente est relative à toute la surface des continents. Développons le radical

${\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2r\cos \gamma +1}}}$

suivant les puissances de ${\frac {1}{r}}.$ En nommant $\mathrm {P} ^{(i)}$ le coefficient de ${\frac {1}{r^{i+1}}}$ dans ce développement, on aura par le n^o 23 du troisième Livre de la Mécanique céleste, en faisant $\cos \gamma =\lambda ,$

$\mathrm {P} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}$

$\times \left[\lambda ^{i}-{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}}\lambda ^{i-2}+{\frac {i(i-1)(i-2)(i-3)}{2.4(2i-1)(2i-3)}}\lambda ^{i-4}-\ldots \right].$

Si l’on fait ${\frac {1}{r}}=x,$ ce coefficient sera celui de $x^{i},$ dans le dévelop pement de la fonction $\left(1-2x\lambda +x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},$ fonction que l’on peut mettre sous cette forme

${\frac {1}{{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}{\sqrt {1+{\cfrac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}}}.$

Le coefficient de $x^{i}$ dans le développement de

${\frac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}}$

est égal à

${\frac {1}{1.2.3\ldots i}}{\frac {d^{i}}{dx^{i}}}{\frac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}},$

en faisant $x=0$ après les différentiations. J’ai fait voir, dans le n^o 38 du Livre I^er de ma Théorie des probabilités, que l’on a

${\frac {1}{1.2.3\ldots i}}{\frac {d^{i}}{d\zeta ^{i}}}{\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}={\frac {1}{\pi \left(1-\zeta ^{2}\right)^{i+{\frac {1}{2}}}}}\int d\omega (\zeta +\cos \omega )^{i},$