Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/440

$\varepsilon '$ exprimant le sinus de la latitude australe. Les masses des deux mers seront respectivement

${\frac {2\alpha \pi g}{3}}(1-\varepsilon )^{2}(1+2\varepsilon ),\qquad {\frac {2\alpha \pi g}{3}}(1-\varepsilon ')^{2}(1+2\varepsilon ').$

Leur somme étant donnée, on voit qu’elle peut se partager d’une infinité de manières. La pesanteur à la surface de la mer boréale sera

$\mathrm {P} +\left[{\frac {5}{2}}\alpha \varphi -\alpha \left({\overline {h}}-g\right)\right]\mathrm {P} \mu ^{2},$

$\mathrm {P}$ étant la pesanteur à la surface et au pôle du sphéroïde. Au pôle et à la surface de la mer, la pesanteur est égale à

$\mathrm {P} \left[1-2\alpha g\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\right],$

$\alpha g\left(1-\varepsilon ^{2}\right)$ étant à ce point la profondeur de la mer ; on a donc

$\mathrm {P'=P} \left[1-2\alpha g\left(1-\varepsilon ^{2}\right)-{\frac {5}{2}}\alpha \varphi +\alpha \left({\overline {h}}-g\right)\right].$

La pesanteur à un point quelconque de la surface de cette mer sera donc

$\mathrm {P} \left\{1-2\alpha g\left(1-\varepsilon ^{2}\right)-\left[{\frac {5}{2}}\alpha \varphi -\alpha \left({\overline {h}}-g\right)\right]\left(1-\mu ^{2}\right)\right\}.$

À la surface de la mer australe, la pesanteur sera

$\mathrm {P} \left\{1-2\alpha g\left(1-\varepsilon '^{2}\right)-\left[{\frac {5}{2}}\alpha \varphi -\alpha \left({\overline {h}}-g\right)\right]\left(1-\mu ^{2}\right)\right\}.$

Pour avoir une seconde approximation, il faut déterminer la valeur analytique du terme ${\frac {\mathrm {V} ''}{{\frac {4}{3}}\pi \int \rho da^{3}}}$ de l’équation (4) pour l’ajouter à la première valeur approchée de $\alpha y'\,;$ or on a

$(o)\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {V} ''=\alpha \int {\frac {y_{1}d\mu 'd\omega '}{\sqrt {2(1-\cos \gamma )}}},$

$y_{1}$ étant ce que devient l’expression trouvée par une première approximation pour $y',$ et dans laquelle on change $\mu$ en $\mu ',$ $\omega$ en $\omega ',$ $\mu '$ et $\omega '$ étant relatifs au point attirant, tandis que $\mu$ et $\omega$ se rapportent au