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donc $2\pi a^{2}\alpha y,$ et cette équation deviendra

$a{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} =-{\frac {2a^{2}\pi }{3}}+2a^{2}\pi \alpha y'.$

Mais l’équation $(a)$ subsistera toujours, malgré ce déplacement du point attiré, parce que, $\mathrm {V} ''$ étant de l’ordre $\alpha ,$ ce déplacement ne peut y produire que des termes de l’ordre $\alpha ^{2}.$

Cela posé, si l’on substitue, dans les équations $(2)$ et $(3),$ $1+\alpha y+\alpha y'$ au lieu de $r,$ elles deviendront, en négligeant les termes de l’ordre $\alpha ^{2},$

$(4)\left\{{\begin{aligned}\mathrm {const} .=\alpha {\overline {y}}+\alpha y'&-{\frac {3\alpha }{\int \rho da^{3}}}\int \rho d\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7}}+\ldots \right)\\&-{\frac {3\alpha }{\int \rho da^{3}}}\mathrm {\left(Y'^{(0)}+{\frac {Y'^{(1)}}{3}}+{\frac {Y'^{(2)}}{5}}+\ldots \right)} \\&-{\frac {\mathrm {V} ''}{{\frac {4\pi }{3}}\int \rho da^{3}}}+{\frac {\alpha \varphi }{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),\end{aligned}}\right.$

$(5)\left\{{\begin{aligned}p={\frac {4}{3}}\pi &\int \rho da^{3}\left(1-2\alpha {\overline {y}}-2\alpha y'\right)\\&+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {2a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3}}+{\frac {3a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5}}+{\frac {4a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7}}+\ldots \right)\\&+4\alpha \pi \mathrm {\left(Y'^{(0)}+{\frac {2Y'^{(1)}}{3}}+{\frac {3Y'^{(2)}}{5}}+{\frac {4Y'^{(3)}}{7}}+\ldots \right)} \\&+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} ''+{\frac {4\pi }{3}}\int \rho da^{3}\alpha \varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}\right.$

Si l’on ajoute cette dernière équation à la précédente, multipliée par ${\frac {2}{3}}\pi \int \rho da^{3},$ on aura

(6)

$\left\{{\begin{aligned}p=\mathrm {const} .&-2\pi \alpha \left({\overline {y}}+y'\right)\int \rho da^{3}\\&+2\alpha \pi \int \rho d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}+a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}+a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}+\ldots \right)\\&+2\alpha \pi y'+{\frac {4}{3}}\pi \int \rho da^{3}{\frac {5}{4}}\alpha \varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}\right.$

Si l’on suppose la Terre homogène ou $\rho$ constant, on aura

$p=\mathrm {const} .-2\alpha \pi (\rho -1)y'+{\frac {4}{3}}\pi \rho {\frac {5}{4}}\alpha \varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$

où l’on doit observer que ${\frac {4}{3}}\pi \rho$ est à très peu près la pesanteur à l’équa-