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en supposant donc $\mathrm {V}$ relatif au sphéroïde entier, on aura pour le point situé à ce contact

$(c)\qquad \qquad \qquad \qquad a{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} =-{\frac {2}{3}}\pi a^{2}\,;$

c’est l’équation que j’ai donnée dans le n^o 10 du troisième Livre de la Mécanique céleste. Ici, l’origine de $r$ est fixée au centre de la sphère osculatrice du rayon $a.$ Fixons cette origine à un point quelconque très proche du centre de gravité du sphéroïde, et désignons par $a(1+\alpha y)$ le rayon du sphéroïde, $\alpha$ étant un très petit coefficient. L’attraction du sphéroïde, décomposée vers l’origine des $r,$ est $-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}},$ et il est facile de voir qu’elle est la même, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2},$ quelle que soit cette origine, pourvu qu’elle ne s’écarte du centre de gravité du sphéroïde que d’une quantité de l’ordre $\alpha ,$ puisque ces attractions partielles sont les résultantes de l’attraction totale composée avec des forces de l’ordre à qui lui sont perpendiculaires. Ainsi l’équation précédente $(c)$ subsiste en fixant l’origine des $r$ à un point quelconque pris très près du centre de gravité.

Telle est la démonstration que j’ai donnée de cette équation dans l’endroit cité de la Mécanique céleste. Quelques géomètres ne l’ayant pas bien saisie l’ont jugée inexacte. Lagrange, dans le Tome VIII du Journal de l’École Polytechnique, a démontré cette équation par une analyse à peu près semblable à celle qui me l’avait fait découvrir (Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1775, p. 83) ^[1]. C’est pour simplifier cette matière que j’ai préféré donner, dans la Mécanique céleste, la démonstration précédente.

Si le point attiré est élevé d’une quantité $\alpha ay'$ au-dessus du sphéroïde, $\mathrm {V}$ étant de la forme ${\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}}{r}}+\alpha \mathrm {Q} ,$ il ne variera, par ce déplacement du point et en négligeant les quantités d’ordre $\alpha ^{2},$ que de la quantité $-{\frac {4}{3}}\pi a^{2}\alpha y'\,:$ la différence partielle $a{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}$ variera de la quantité ${\frac {8}{3}}\pi a^{2}\alpha y'.$ La variation du premier membre de l’équation $(c)$ sera

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 82.