Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/433

pesanteur, on aura

$(3)\qquad \left\{{\begin{aligned}p={\frac {4\pi }{3r^{2}}}\int \rho da^{3}&+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {2a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{3}}}+{\frac {3a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{4}}}+\ldots \right)\\&+4\alpha \pi \left({\frac {\mathrm {Y} '^{(0)}}{r^{2}}}+{\frac {2\mathrm {Y} '^{(1)}}{3r^{3}}}+{\frac {3\mathrm {Y} '^{(2)}}{5r^{4}}}+\ldots \right)\\&-{\frac {\partial \mathrm {V} ''}{\partial r}}+\alpha \varphi r{\frac {4\pi }{3}}\int \rho da^{3}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}\right.$

On a, par le n^o 10 du troisième Livre de la Mécanique céleste, à la surface de la mer,

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0={\frac {\partial \mathrm {V} ''}{\partial r}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} ''.$

Cette équation remarquable étant très utile pour ce qui va suivre, je vais en rappeler ici la démonstration. Si l’on conçoit une sphère homogène du rayon $a,$ et dont la densité soit exprimée par l’unité, la somme de ses molécules divisées par leurs distances respectives à un point extérieur attiré dont $r$ soit la distance à son centre sera la masse de la sphère divisée par $r.$ En désignant donc par $\mathrm {V}$ cette somme, on aura

$\mathrm {V} ={\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}}{r}}.$

Maintenant, si l’on imagine à la surface de la sphère une molécule $dm,$ sa distance au point attiré sera ${\sqrt {r^{2}-2ar\cos \gamma +a^{2}}},$ $\gamma$ étant l’angle compris entre le rayon $r$ mené au point attiré et le rayon $a$ mené à la molécule $dm\,;$ $\mathrm {V}$ ou la somme des molécules divisées par leurs distances au point attiré sera donc, relativement à cette molécule,

${\frac {dm}{\sqrt {r^{2}-2ar\cos \gamma +a^{2}}}},$

et la valeur de ${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}$ sera

${\frac {-dm(r-a\cos \gamma )}{\left(r^{2}-2ar\cos \gamma +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Si le point attiré est à la surface de la sphère, on aura

$r=a,$