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devient ainsi

$\mathrm {V} ={\frac {4\pi }{3r}}\int \rho da^{3}+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+\ldots \right),$

$\pi$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon : les différentielles et les intégrales étant relatives à la variable $a,$ celles-ci étant prises depuis $a$ nul jusqu’à sa valeur à la surface du sphéroïde, valeur que je prendrai pour l’unité.

Concevons maintenant la mer en équilibre sur ce sphéroïde doué d’un mouvement de rotation. Soit $\alpha \varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur, et désignons par $\mathrm {V} '$ la somme de toutes les molécules de la mer, divisées par leurs distances respectives au point attiré. Si l’on suppose ce point à la surface de la mer, on aura, par le n^o 23 du troisième Livre de la Mécanique céleste, pour l’équation de l’équilibre,

$(1)\left\{{\begin{aligned}\mathrm {const} .={\frac {4\pi }{3r}}\int \rho da^{3}&+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+\ldots \right)\\&+\mathrm {V} '-{\frac {4}{3}}\pi \int \rho da^{3}{\frac {\alpha \varphi r^{2}}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}\right.$

Pour déterminer $\mathrm {V} ',$ je supposerai que le rayon mené de l’origine des rayons terrestres à la surface de la mer soit $1+\alpha {\overline {y}}+\alpha y',$ ${\overline {y}}$ étant la valeur de $y$ à la surface du sphéroïde : $\alpha y'$ sera, à très peu près, la profondeur de la mer. Je supposerai ensuite

$y'=\mathrm {Y'^{(0)}+Y'^{(1)}+Y'^{(2)}+Y'^{(3)}} +\ldots ,$

$\mathrm {Y} '^{(1)}$ étant une fonction rationnelle et entière de $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \omega ,$ ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \omega ,$ assujettie à la même équation aux différences partielles que $\mathrm {Y} ^{(i)}.$ On peut considérer la mer comme égalant un sphéroïde dont le rayon est $1+\alpha {\overline {y}}+\alpha y',$ moins un second sphéroïde dont le rayon est $1+\alpha {\overline {y}},$ plus la partie de ce second sphéroïde qui se relève au-dessus du premier et où, par conséquent, $\alpha y'$ est négatif. La somme des molécules du premier sphéroïde divisées par leurs distances au point attiré est, par ce qui précède, en prenant pour