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verai dans un Ouvrage que je vais bientôt publier sur les probabilités, que la somme des carrés des erreurs d’un grand nombre $s$ d’observations peut être supposée à très peu près égala à $2s{\frac {a^{2}\mathrm {K} ''}{\mathrm {K} }}\,;$ or on a cette somme en substituant, dans chaque équation de condition, les corrections des éléments, déterminées par la méthode des moindres carrés des erreurs des observations ; car, si l’on nomme $\varepsilon ^{(i)}$ ce qui reste après ces substitutions dans l’équation de condition $(i+1)$^ième, cette somme sera à très peu près $\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}\,;$ en l’égalant donc à $2sa^{2}\mathrm {\frac {K''}{K}} ,$ on aura

$a{\sqrt {\mathrm {\frac {K''}{K}} }}={\sqrt {\frac {\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}{2s}}}.$

Pour un seul élément, l’erreur moyenne devient donc ainsi

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad {\sqrt {\frac {\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}{2s\pi }}}\,{\frac {1}{\sqrt {Sp^{(i)2}}}}.$

De là résulte cette règle générale pour avoir l’erreur moyenne à craindre, quel que soit le nombre des éléments. Représentons généralement les équations de condition par la suivante

$\varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z+q^{(i)}z'+r^{(i)}z''+t^{(i)}z'''+\ldots -\alpha ^{(i)},$

$z,z',z'',z''',\ldots$ étant les corrections de ces éléments.

Lorsqu’il y à deux éléments, on aura l’erreur moyenne à craindre sur le premier élément, en changeant dans la fonction $(a)$

$\mathrm {S} p^{(i)2}\quad {\text{dans}}\quad \mathrm {S} p^{(i)2}-{\frac {\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}{\mathrm {S} q^{(i)2}}}.$

On aura ainsi une expression que nous désignerons par $(a').$

Lorsqu’il y aura trois éléments, on aura l’erreur à craindre sur le premier élément, en changeant dans l’expression $(a')$

${\begin{aligned}&\mathrm {S} p^{(i)2}\quad {\text{dans}}\quad \mathrm {S} p^{(i)2}-{\frac {\left(\mathrm {S} p^{(i)}r^{(i)}\right)^{2}}{\mathrm {S} r^{(i)2}}},\\&\mathrm {S} q^{(i)2}\quad {\text{dans}}\quad \mathrm {S} q^{(i)2}-{\frac {\left(\mathrm {S} q^{(i)}r^{(i)}\right)^{2}}{\mathrm {S} r^{(i)2}}}\end{aligned}}$