l’intégrale relative à
doit être prise depuis
jusqu’à
et, dans ces deux cas, l’exponentielle sous le signe
est insensible à ces deux limites, soit parce que
est un grand nombre, soit parce que
est ici supposé divisé dans une infinité de parties prises pour unité ; on peut donc prendre l’intégrale relative à
depuis
jusqu’à
et il en est de même de l’intégrale relative a
Cela posé, si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}t''\ =&t+t'{\frac {\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}}{\mathrm {S} m^{(i)2}}}+{\frac {\mathrm {K} l{\sqrt {s}}{\sqrt {-1}}}{2\mathrm {K} ''a\mathrm {S} m^{(i)2}}},\\t'''=&t'-{\frac {\mathrm {K} {\sqrt {s}}}{2\mathrm {K} ''a}}{\frac {\left(l\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}-l'\mathrm {S} m^{(i)2}\right){\sqrt {-1}}}{\mathrm {S} m^{(i)2}\mathrm {S} n^{(i)2}-\left(\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}\right)^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e623e0159baa7b0fb9fac9e53ad958dc2da9c238)
si l’on fait ensuite
![{\displaystyle \mathrm {E} =\mathrm {S} m^{(i)2}\mathrm {S} n^{(i)2}-\left(\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee42ddb7cb6e10b7ea763787d6417cd9ce1fa5c7)
la double intégrale précédente devient
![{\displaystyle e^{-{\frac {\mathrm {K} }{4\mathrm {K} ''a^{2}\mathrm {E} }}\left(l^{2}\mathrm {S} n^{(i)2}-2ll'\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}+l'^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}\right)}\iint {\frac {dt''dt'''}{4\pi ^{2}a^{2}s}}e^{-\mathrm {\frac {K''}{K}} t''^{2}{\frac {\mathrm {S} m^{(i)2}}{s}}-\mathrm {\frac {K''}{K}} t'''^{2}{\frac {\mathrm {E} }{s\mathrm {S} m^{(i)2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809e94dbf101cfeeb045fde380e48fc76e1b662b)
Les intégrales relatives à
et
doivent être prises comme celles qui sont relatives à
et
entre les limites infinies positives et négatives ; or on a dans ces limites, par les théorèmes connus,
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dte^{-{\text{ϐ}}^{2}t^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{\text{ϐ}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f7383a7f4d99119b82dc0e19dd23d327fbef9e)
la fonction (2) se réduit donc ainsi à
(3)
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Il faut maintenant, pour avoir la probabilité que les valeurs de
et de
seront comprises dans des limites données, multiplier cette quantité par
et l’intégrer ensuite dans ces limites ; en nommant donc
cette quantité, la probabilité dont il s’agit sera
mais, pour avoir la probabilité que les erreurs
et
des corrections des éléments seront comprises dans des limites données, il faut substituer