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ces trois forces se réduisent aux suivantes :

${\begin{aligned}&{\frac {3\mathrm {S'R} }{2r^{3}}}\sin ^{2}\theta \cos 2(nt+\varpi -\varphi )-n'q),\\&{\frac {3\mathrm {S'R} }{2r^{3}}}\sin \theta \cos \theta \cos 2(nt+\varpi -\varphi )-n'q),\\-&{\frac {3\mathrm {S'R} }{2r^{3}}}\sin \theta \sin 2(nt+\varpi -\varphi )-n'q).\end{aligned}}$

Ces dernières forces produiront un flux et un reflux semblable à celui qu’exciterait le Soleil $\mathrm {S}$ si sa masse se changeait en $\mathrm {S} '$ et si l’on diminuait de $q$ le temps $t$ dans les forces (A). En nommant donc $y''$ l’ordonnée de la courbe des hauteurs de la mer correspondante à l’abscisse $t-q,$ on aura ${\frac {\mathrm {S} 'y''}{\mathrm {S} }}$ pour la hauteur de la mer produite, après le temps $t,$ par les trois forces précédentes.

Cette hauteur est, par la nature des oscillations très petites, la somme des hauteurs de la mer dues aux actions des deux Soleils $\mathrm {S} .$ Soit donc $y$ l’ordonnée de la courbe des hauteurs de la mer, correspondante au temps $t,$ et $y'$ l’ordonnée correspondante au temps $t-\mathrm {T} \,;\ y+y'$ sera la somme de ces hauteurs : on aura, par conséquent,

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad y+y'={\frac {\mathrm {S} 'y''}{\mathrm {S} }}\,;$

maintenant, si l’on développe $y'$ et $y''$ en séries ordonnées par rapport aux puissances de $\mathrm {T}$ et de $q,$ on aura, en négligeant les cubes et les puissances supérieures de ces quantités,

${\begin{aligned}y'\ =&y-\mathrm {T} {\frac {dy}{dt}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {T} ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\\y''=&y-\,q\ {\frac {dy}{dt}}+{\frac {1}{2}}\,q^{2}\,{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\,;\end{aligned}}$

on a de plus

$\mathrm {S} '=2\mathrm {S} -\mathrm {S} n'^{2}T^{2},\qquad q={\frac {1}{2}}\mathrm {T} .$

Ces valeurs, substituées dans l’équation $(a),$ donneront

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-4n'^{2}y,$