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est, le signe $\mathrm {S}$ se rapportant à toutes les valeurs de $i,$

${\begin{aligned}-&\mathrm {\frac {K''}{K}} a^{2}\left(\varpi ^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}+2\varpi \varpi '\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}+\varpi '^{2}\mathrm {S} n^{(i)2}\right)\\&+\mathrm {\frac {KK^{\text{ıv}}-6K''^{2}}{12K^{2}}} a^{4}\left(\varpi ^{4}\mathrm {S} m^{(i)4}+4\varpi ^{3}\varpi '\mathrm {S} m^{(i)3}n^{(i)}+\ldots \right)+\ldots .\end{aligned}}$

En repassant des logarithmes aux nombres, on aura, pour le produit lui-même,

$\left[1+\mathrm {\frac {KK^{\text{ıv}}-6K''^{2}}{12K^{2}}} a^{4}\left(\varpi ^{4}\mathrm {S} m^{(i)4}+\ldots \right)\right]e^{-\mathrm {\frac {K''}{K}} a^{2}\left(\varpi ^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}+2\varpi \varpi '\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}+\varpi '^{2}\mathrm {S} n^{(i)2}\right)}.$

En substituant donc, au lieu de ce produit, cette valeur dans la fonction intégrale (1), elle devient

${\begin{aligned}{\frac {1}{4\pi ^{2}}}&\int _{\pi }^{\pi }\int _{\pi }^{\pi }d\varpi d\varpi '\left[1+\mathrm {\frac {KK^{\text{ıv}}-6K''^{2}}{12K^{2}}} a^{4}\left(\varpi ^{4}\mathrm {S} m^{(i)4}+\ldots \right)+\ldots \right]\\&\times e^{-l\varpi {\sqrt {-1}}-l'\varpi '{\sqrt {-1}}-\mathrm {\frac {K''}{K}} a^{2}\left(\varpi ^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}+2\varpi \varpi '\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}+\varpi '^{2}\mathrm {S} n^{(i)2}\right)}\,;\end{aligned}}$

$s$ étant le nombre des observations que nous supposerons très grand ; faisons

$a\varpi {\sqrt {s}}=t,\qquad a\varpi '{\sqrt {s}}=t',$

cette intégrale devient

${\begin{aligned}{\frac {1}{4\pi ^{2}a^{2}s}}&\iint dtdt'\left[1+\mathrm {\frac {KK^{\text{ıv}}-6K''^{2}}{12K^{2}}} \left({\frac {t^{4}\mathrm {S} m^{(i)4}}{s^{2}}}+\ldots \right)+\ldots \right]\\&\times e^{-{\frac {lt{\sqrt {-1}}}{a{\sqrt {s}}}}-{\frac {l't'{\sqrt {-1}}}{a{\sqrt {s}}}}}e^{-\mathrm {\frac {K''}{K}} \left({\frac {t^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}}{s}}+{\frac {2tt'\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}}{s}}+{\frac {t'^{2}\mathrm {S} n^{(i)2}}{s}}\right)}.\end{aligned}}$

$\mathrm {S} m^{(i)2},\mathrm {S} m^{(i)4},\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)},\ldots$ sont évidemment des quantités de l’ordre $s\,;$ en négligeant donc les termes de l’ordre ${\frac {1}{s}},$ vis-à-vis de l’unité, l’intégrale précédente se réduit à

(2)

${\frac {1}{4\pi ^{2}a^{2}s}}\iint dtdt'e^{-{\frac {lt{\sqrt {-1}}}{\sqrt {s}}}-{\frac {l't'{\sqrt {-1}}}{a{\sqrt {s}}}}-\mathrm {\frac {K''}{K}} \left({\frac {t^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}}{s}}+{\frac {2tt'\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}}{s}}+{\frac {t'^{2}\mathrm {S} n^{(i)2}}{s}}\right)}$

L’intégrale relative à $\varpi$ étant prise depuis $\varpi =-\pi$ jusqu’à $\varpi =\pi ,$