multipliées respectivement par
ou la fonction
sera égale à
en même temps que la fonction
somme des erreurs de chaque observation, multipliées respectivement par
sera égale à
cette probabilité est donc, en supposant
des nombres entiers,
![{\displaystyle (1)\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{4\pi ^{2}}}&\int _{\pi }^{\pi }\int _{\pi }^{\pi }d\varpi d\varpi 'e^{-l\varpi {\sqrt {-1}}-l'\varpi '{\sqrt {-1}}}\\&\times \left[2\int _{0}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos(mx\varpi +nx\varpi ')\times \ldots \right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.\times 2\int _{0}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos \left(m^{(s-1)}x\varpi +n^{(s-1)}x\varpi '\right)\right],\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0b90cbff2d28edf6e4cbb1e05ad052b3666065)
étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité.
En réduisant les cosinus en série, et faisant
![{\displaystyle {\frac {x}{a}}=x',\qquad {\frac {1}{a}}=dx',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd65c9aba1992f911fe25d40193c741fc08ca2a)
![{\displaystyle \mathrm {K} =2\int _{0}^{1}dx'\varphi (x'),\ \ \mathrm {K} ''=\int _{0}^{1}x'^{2}dx'\varphi (x'),\ \ \mathrm {K} ^{\text{ıv}}=\int _{0}^{1}x'^{4}dx'\varphi (x'),\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eba50ddba8532fb5e2ef0c1a7705136b1f5372d)
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\int _{0}^{a}&\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos(mx\varpi +nx\varpi ')\\&=a\mathrm {K} \left[1-{\frac {\mathrm {K} ''a^{2}}{\mathrm {K} }}(m\varpi +n\varpi ')^{2}+{\frac {\mathrm {K} ^{\text{ıv}}}{12\mathrm {K} }}a^{4}(m\varpi +n\varpi ')^{4}+\ldots \right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b9025ae87a63281c937234173be750bdf5a521)
ou
exprime la probabilité que l’erreur de chaque observation sera comprise dans ses limites, ce qui est certain ; on a donc
En prenant donc le logarithme du second membre de l’équation précédente, on aura
![{\displaystyle -\mathrm {\frac {K''}{K}} a^{2}(m\varpi +n\varpi ')^{2}+\mathrm {\frac {KK^{\text{ıv}}-6K''^{2}}{12K^{2}}} a^{4}(m\varpi +n\varpi ')^{4}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce9fda8f4656e6a374425b9fa88c4a24f7abff7)
De là il est facile de conclure que le logarithme du produit des facteurs
![{\displaystyle 2\int _{0}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos(mx\varpi +nx\varpi '),\ \ 2\int _{0}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos(m^{(1)}x\varpi +n^{(1)}x\varpi '),\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560211800375a6a3f6fea9df786edb80f4020bd5)