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Si l’on suppose nulles les deux fonctions $\mathrm {S} m^{(i)}\varepsilon ^{(i)}$ et $\mathrm {S} n^{(i)}\varepsilon ^{(i)},$ sommes que nous désignerons respectivement par $(m)$ et $(n),$ les deux équations finales précédentes donneront les corrections $z$ et $z'$ des deux éléments. Mais ces corrections sont susceptibles d’erreurs, relatives à celle dont la supposition que nous venons de faire est susceptible elle-même. Concevons donc que les fonctions $(m)$ et $(n),$ au lieu d’être nulles, soient respectivement $l$ et $l'\,;$ et nommons $u$ et $u'$ les erreurs correspondantes des corrections $z$ et $z'$ déterminées par ce qui précède, les deux équations finales deviendront

${\begin{aligned}l\ =&u\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}+u'\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)},\\l'=&u\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}+u'\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}.\end{aligned}}$

Il faut maintenant déterminer les facteurs $m,m^{(1)},\ldots ,n,n^{(1)},\ldots ,$ de manière que l’erreur moyenne à craindre soit un minimum. Pour cela, considérons le produit

$\int _{-a}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)e^{-(m\varpi +n\varpi ')x{\sqrt {-1}}}\int _{-a}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)e^{-\left(m^{(1)}\varpi +n^{(1)}\varpi '\right)x{\sqrt {-1}}}\ldots$

$\int _{-a}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)e^{-\left(m^{(s-1)}\varpi +n^{(s-1)}\varpi '\right)x{\sqrt {-1}}}\ldots ,$

$x$ étant l’erreur quelconque d’une observation, $-a$ et $+a$ étant les limites de cette erreur, $\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)$ étant la probabilité de cette erreur, et la probabilité d’une erreur positive étant supposée la même que celle de l’erreur négative correspondante ; enfin $e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. La fonction précédente devient, en réunissant les deux exponentielles relatives à $x$ et à $-x,$

${\begin{aligned}2\int _{0}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos(mx\varpi +nx\varpi ')&\times 2\int _{0}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos \left(m^{(1)}\ \ \ x\varpi +n^{(1)}\ \ \ x\varpi '\right)\times \ldots \\&\times 2\int _{0}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos \left(m^{(s-1)}x\varpi +n^{(s-1)}x\varpi '\right),\end{aligned}}$

$x$ étant supposé, ainsi que $a,$ divisé dans une infinité de parties prises pour unité. Maintenant, il est clair que le terme indépendant des exponentielles, dans le produit de la fonction précédente par $e^{-l\varpi {\sqrt {-1}}-l'\varpi '{\sqrt {-1}}},$ est la probabilité que la somme des erreurs de chaque observation,