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la probabilité précédente deviendra

${\frac {\int dte^{-\left({\text{ϐ}}^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}+\ldots \right)t^{2}}}{\int dte^{-\left({\text{ϐ}}^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}+\ldots \right)t^{2}}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise dans des limites données et celle du dénominateur étant prise depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty .$ Cette dernière intégrale est

${\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {{\text{ϐ}}^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}+\ldots }}}\,;$

en faisant donc

$t'=t{\sqrt {{\text{ϐ}}^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}+\ldots }},$

la probabilité précédente devient

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dt'e^{-t^{2}}.$

La valeur de $t'$ la plus probable est celle qui répond à $t'$ nul, d’où il suit que la valeur de $x$ la plus probable est celle qui répond à $t=0\,;$ ainsi la correction du premier résultat que donne avec le plus de probabilité l’ensemble de toutes les observations $s,s',s''$ est

$x={\frac {{\text{ϐ}}'^{2}q+{\text{ϐ}}''^{2}q'+\ldots }{{\text{ϐ}}^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}+\ldots }},$

et l’on trouvera, par l’article précédent, que l’erreur moyenne à craindre est

${\frac {1}{\sqrt {\pi \left({\text{ϐ}}^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}+\ldots \right)}}}$

dont la moitié est l’erreur à craindre en plus, et l’autre moitié, prise avec le signe $-,$ est l’erreur à craindre en moins.

La correction que nous venons de donner est celle qui rend un minimum la fonction

$({\text{ϐ}}x)^{2}+\left[{\text{ϐ}}'(x-q)\right]^{2}+\left[{\text{ϐ}}''(x-q')\right]^{2}+\ldots \,;$

or la plus grande ordonnée de la courbe des probabilités des erreurs