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en nommant pour elles ϐ" ce que nous avons nommé ϐ pour les observations $s,$ la probabilité de cette erreur sera

{\frac {{\text{ϐ}}''}{\sqrt {\pi }}}e^{-{\text{ϐ}}''^{2}(x-q')^{2}}\,;

et ainsi de suite. Le produit de toutes ces probabilités sera la probabilité que $-x,q-x,q'-x,\ldots$ seront les erreurs des résultats moyens des observations $s,s',s'',\ldots \,;$ cette probabilité est donc égale à

{\frac {\text{ϐ}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {{\text{ϐ}}'}{\sqrt {\pi }}}{\frac {{\text{ϐ}}''}{\sqrt {\pi }}}\ldots e^{-{\text{ϐ}}^{2}x^{2}-{\text{ϐ}}'^{2}(x-q)^{2}-{\text{ϐ}}''^{2}(x-q')^{2}-\ldots }.

En la multipliant par $dx$ et prenant l’intégrale depuis $x=-\infty$ jusqu’à $x=\infty ,$ on aura la probabilité que les résultats moyens des observations $s,s'\ldots$ surpasseront respectivement de $q,q',\ldots$ le résultat moyen des observations $s.$

Si l’on prend l’intégrale dans des limites déterminées, on aura la probabilité que, la condition précédente étant remplie, l’erreur du premier résultat sera comprise dans ces limites ; en divisant cette probabilité par celle de la condition elle-même, on aura la probabilité que l’erreur du premier résultat sera comprise dans les limites données, lorsqu’on est certain que la condition a effectivement lieu ; cette probabilité est donc

{\frac {\int dxe^{-{\text{ϐ}}^{2}x^{2}-{\text{ϐ}}'^{2}(x-q)^{2}-{\text{ϐ}}''^{2}(x-q')^{2}-\ldots }}{\int dxe^{-{\text{ϐ}}^{2}x^{2}-{\text{ϐ}}'^{2}(x-q)^{2}-{\text{ϐ}}''^{2}(x-q')^{2}-\ldots }}}\,;

l’intégrale du numérateur étant prise dans les limites données et celle du dénominateur étant prise depuis $x=-\infty$ jusqu’à $x=\infty .$

On a

{\text{ϐ}}^{2}x^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}(x-q)^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}(x-q')^{2}+\ldots

=\left({\text{ϐ}}^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}+\ldots \right)x^{2}-2x\left({\text{ϐ}}'^{2}q+{\text{ϐ}}''^{2}q'+\ldots \right)+{\text{ϐ}}'^{2}q+^{2}{\text{ϐ}}''^{2}q'^{2}+\ldots .

Soit

x={\frac {{\text{ϐ}}'^{2}q+{\text{ϐ}}''^{2}q'+\ldots }{{\text{ϐ}}^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}+\ldots }}+t\,;