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Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1778, page 258 ^[1]. Cette loi donne, pour la probabilité de l’erreur $\pm x,$

${\frac {1}{2a}}\log {\frac {a}{x}}\,;$

on trouve alors

${\frac {k}{k'}}=18,$

ce qui donne ${\frac {2a}{3{\sqrt {2\pi \mathrm {S} p^{(i)^{2}}}}}}$ pour l’erreur moyenne à craindre.

Si l’on fait

$z'={\frac {2at{\sqrt {\cfrac {k}{k'}}}}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)^{2}}}}},$

on aura par ce qui précède, dans la méthode des moindres carrés des erreurs, où $q^{(i)}=\mu p^{(i)},$

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int dte^{-t^{2}}$

pour la probabilité que l’erreur du résultat moyen sera comprise dans les limites

${\frac {\pm 2at{\sqrt {\cfrac {k'}{k}}}}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)^{2}}}}}.$

Dans la méthode ordinaire où $q^{(i)}=1,$ l’intégrale précédente exprime la probabilité que l’erreur du résultat moyen donné par cette méthode sera comprise dans les limites

${\frac {\pm 2at{\sqrt {\cfrac {k'}{k}}}{\sqrt {s}}}{\mathrm {S} p^{(i)}}}.$

La valeur de $t$ étant supposée la même pour les résultats des deux méthodes, la probabilité que l’erreur sera contenue dans les limites correspondantes sera la même ; mais ces limites sont plus resserrées dans la première méthode que dans la seconde. Si l’on suppose que

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 412.