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Pour cela, il suffit de prouver que l’on a

$x'^{2}\int _{0}^{x'}dx'\Psi (x')>3\int _{0}^{x'}x'^{2}dx'\Psi (x').$

En effet, si l’on différentie cette inégalité, on aura

$2x'\int _{0}^{x'}dx'\Psi (x')>2x'^{2}\Psi (x')$

ou

$\int _{0}^{x'}dx'\Psi (x')>x'\Psi (x').$

Différentiant encore cette inégalité, on aura

$0>x'{\frac {d\Psi (x')}{dx'}}\,;$

or cette inégalité est juste, si l’on suppose que la probabilité $\Psi (x')$ de l’erreur $x$ de chaque observation est d’autant plus petite que l’erreur est plus grande, ce qu’il est naturel d’admettre ; la différentielle de $\Psi (x')$ est alors négative, et, par conséquent, moindre que zéro.

De là il suit que la fonction (D) est moindre que

${\frac {2a}{\sqrt {6\pi \mathrm {S} p^{(i)^{2}}}}}.$

La moitié de cette fonction est l’erreur moyenne à craindre en plus, en adoptant le résultat donné par la méthode des moindres carrés ; cette moitié, prise avec le signe $-,$ est l’erreur moyenne à craindre en moins. On peut donc apprécier par là le degré d’approximation de ce résultat, en prenant pour $a$ l’écart du résultat moyen qui ferait rejeter une observation. Dans l’ignorance entière où l’on est le plus souvent de la loi des erreurs, on peut également prendre toutes celles qui satisfont aux deux conditions de donner la même probabilité pour les erreurs positives et négatives égales, et de rendre les erreurs d’autant moins probables qu’elles sont plus grandes. Alors il faut choisir la loi moyenne entre toutes ces lois, et que j’ai déterminée dans les