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En effet, $2pp^{(1)}$ est moindre que $p^{(2)}+p^{(1)^{2}},$ puisque $\left(p^{(1)}-p\right)^{2}$ est une quantité positive ; on peut donc, dans le second membre de l’inégalité précédente, substituer pour $2pp^{(1)},$ $p^{2}+p^{(1)^{2}}-f,$ $f$ étant une quantité positive. En faisant des substitutions semblables pour tous les produits semblables, ce second membre sera égal à $s\left(p^{2}+p^{(1)^{2}}+\ldots +p^{(s-1)^{2}}\right)$ moins une quantité positive.

Le résultat

$z={\frac {\mathrm {S} p^{(i)}\varphi ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)^{2}}}},$

auquel correspond le minimum d’erreur à craindre, est celui que donne la méthode des moindres carrés des erreurs, car la somme de ces carrés étant

$(pz-\varphi )^{2}+\left(p^{(1)}z-\varphi ^{(1)}\right)^{2}+\ldots +\left(p^{(s-1)}z-\varphi ^{(s-1)}\right)^{2},$

la condition du minimum de cette fonction, en faisant varier $z,$ donne pour cette variable l’expression précédente ; cette méthode doit donc être employée de préférence, quelle que soit la loi de facilité des erreurs, loi dont dépend le rapport ${\frac {k}{k'}}.$ Quoique cette loi soit presque toujours ignorée, cependant on peut supposer ${\frac {k}{k'}}>6.$ En effet, si l’on suppose que les limites des erreurs de chaque observation sont $\pm a,$ alors $x'$ étant ${\frac {x}{a}},$ la valeur de $x'\,;$ s’étendra depuis zéro jusqu’à l’unité de sorte qu’on obtiendra les intégrales

$2\int _{0}^{1}dx'\Psi (x')$

et

$\int _{0}^{1}x'^{2}dx'\Psi (x'),$

que $k$ et $k'$ représentent ; il faut donc faire voir qu’alors

$2\int _{0}^{1}dx'\Psi (x')>6\int _{0}^{1}x'^{2}dx'\Psi (x').$