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fait point changer la fraction ${\frac {\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}{\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}}},$ en la nommant $\mu ,$ on aura

$q=\mu p,\qquad q^{(1)}=\mu p^{(1)},\qquad \ldots ,\qquad q^{(s-1)}=\mu p^{(s-1)},$

et l’on peut, quels que soient $p,p^{(1)},\ldots ,$ prendre $\mu$ tel que les nombres $q,q^{(1)},\ldots$ soient des nombres entiers, comme l’analyse précédente l’exige. Alors la formule (B) donne, pour l’erreur moyenne à craindre,

(D)

${\sqrt {{\frac {k\pi }{k'}}\mathrm {S} p^{(i)^{2}}}}\,;$

c’est, dans toutes les suppositions que l’on peut faire sur les valeurs de $q,q^{(1)},\ldots ,$ la plus petite erreur moyenne possible. Le résultat moyen des observations devient alors

$z={\frac {\mathrm {S} p^{(i)}\varphi ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)^{2}}}}.$

Si l’on suppose les valeurs de $q,q^{(1)},\ldots ,$ égales à $\pm 1,$ l’erreur moyenne à craindre sera la plus petite lorsque le signe $\pm$ sera déterminé de manière que $p^{(i)}q^{(i)}$ soit positif, ce qui revient à supposer $1=q=q'=\ldots ,$ et à préparer les équations de condition, de sorte que le coefficient de $z$ dans chacune d’elles soit positif : c’est ce que l’on fait dans la méthode ordinaire. Alors le résultat moyen est

$z={\frac {\mathrm {S} \varphi ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)}}},$

et l’erreur moyenne à craindre est

${\frac {2a{\sqrt {s}}}{\mathrm {S} p^{(i)}{\sqrt {\cfrac {k\pi }{k'}}}}}\,;$

mais cette erreur surpasse la précédente (D), puisque celle-ci est la plus petite possible. On peut s’en convaincre d’ailleurs de cette manière : on a

${\frac {\sqrt {s}}{\mathrm {S} p^{(i)}}}>{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)^{2}}}}}\quad {\text{ou}}\quad s\mathrm {S} p^{(i)^{2}}>\left(\mathrm {S} p^{(i)}\right)^{2}.$