étant supposé la correction de ce résultat, la fonction
devient
En faisant cette quantité égale à
on aura
![{\displaystyle {\frac {dre^{-{\frac {kr^{2}}{4k'\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}}}}{2{\sqrt {{\cfrac {k'\pi }{k}}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}}}}={\frac {dz'\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}}{2a{\sqrt {\pi }}{\sqrt {{\cfrac {k'}{k}}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}}}}e^{-{\frac {kz'^{2}\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}{4k'a^{2}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ac856bcc93ff5b8cb53fcf7ed2ad3dc35de490)
le coefficient de
dans le second membre de cette équation est donc l’ordonnée de la courbe des probabilités des erreurs
qui représentent les abscisses de cette courbe, que l’on peut étendre à l’infini de chaque côté de l’ordonnée qui répond à
nul. Cela posé, toute erreur, soit positive, soit négative, doit être considérée comme un désavantage ou une perte réelle à un jeu quelconque ; or, par les principes connus du Calcul des probabilités, on évalue ce désavantage en prenant la somme de tous les produits de chaque désavantage par sa probabilité ; la valeur moyenne de l’erreur à craindre est donc la somme des produits de chaque erreur, abstraction faite du signe, par sa probabilité ; par conséquent elle est égale à l’intégrale
![{\displaystyle {\frac {\int _{0}^{\infty }z'dz'\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}}{2a{\sqrt {{\cfrac {k'\pi }{k}}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}}}}e^{-{\frac {kz'^{2}\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}{4k'a^{2}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334b5b06d486edf69ec2e21a523aa017f03a08d4)
l’erreur moyenne à craindre est donc
(B)
|
|
|
Les valeurs de
sont données par les équations de condition ; mais les valeurs de
sont arbitraires et doivent être déterminées par la condition que l’expression précédente soit un minimum. Cette condition donne, en ne faisant varier que ![{\displaystyle q^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da84bc959dc730d20cce76ebf01be01a77162eb)
![{\displaystyle {\frac {q^{(i)}}{\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}}={\frac {p^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f506284c700fb303359cd1cecbd4ae416b3072d)
Cette équation a lieu quel que soit
et, comme la variation de
ne