Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/406

la probabilité que la fonction $(m)$ sera égale à $+l$ ou à $-l$ est donc, en intégrant depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi =\pi ,$

${\frac {2}{a\pi }}\int _{0}^{\pi }ad\varpi \cos l\varpi e^{-{\frac {k'}{k}}a^{2}\varpi ^{2}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}.$

Si l’on fait $a\varpi =t,$ cette intégrale devient

${\frac {2}{a\pi }}\int _{0}^{a\pi }dt\cos {\frac {l}{a}}te^{-{\frac {k'}{k}}t^{2}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}.$

L’intégrale relative à $\varpi$ devant être prise depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi =\pi ,$ l’intégrale relative à $t$ doit être prise depuis $t$ nul jusqu’à $t=a\pi$ ou jusqu’à l’infini, $a$ étant supposé d’un nombre infini d’unités. À la vérité, nous sommes parvenus à l’intégrale précédente, en supposant $sa^{2}\varpi ^{2}$ ou $st^{2}$ d’un ordre plus petit que ${\sqrt {s}}\,;$ mais, lorsque $st^{2}$ est de l’ordre ${\sqrt {s}},$ l’exponentielle $e^{-{\frac {k'}{k}}t^{2}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}$ devient si excessivement petite que l’on peut, sans crainte d’aucune erreur sensible, étendre l’intégrale au delà jusqu’à l’infini. Cela posé, cette intégrale devient, par l’article II,

${\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\,{\frac {1}{\sqrt {{\cfrac {k'}{k}}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}}}e^{-{\frac {kl^{2}}{4k'a^{2}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}}}.$

En faisant donc $l=ar,$ et observant que, la variation de $l$ étant l’unité, on a $adr=1,$ on aura

${\frac {1}{\sqrt {{\cfrac {k'\pi }{k}}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}}}\int dr\,e^{-{\frac {kr^{2}}{4k'\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}}}$

pour la probabilité que la fonction $(m)$ sera comprise dans les limites $\pm ar.$

Déterminons présentement la valeur moyenne de l’erreur à craindre, en adoptant pour résultat moyen des observations la correction

${\frac {\mathrm {S} q^{(i)}\varphi ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}}},$

qui résulte, comme on l’a vu, de l’égalité de la fonction $(m)$ à zéro.