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valeur extrême ; nommons pareillement $k'$ l’intégrale $\int x'^{2}dx'\Psi (x')$ étendue dans les mêmes limites, et ainsi de suite ; nous aurons

2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi =ak\left(1-{\frac {k'}{k}}q^{2}a^{2}\varpi ^{2}+\ldots \right)\,;

son logarithme est

-{\frac {k'q^{2}}{k}}a^{2}\varpi ^{2}-\ldots +\log ak.

$ak$ ou $2a\int dx'\Psi (x')$ étant égal à $2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right),$ il exprime la probabilité que l’erreur de chaque observation sera comprise dans ses limites, ce qui est certain ; on a donc $ak=1,$ ce qui réduit le logarithme précédent à

-{\frac {k'q^{2}}{k}}a^{2}\varpi ^{2}-\ldots .

De là il est aisé de conclure que le logarithme du produit

2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi \times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(1)}x\varpi \times \ldots \times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(s-1)}x\varpi

est égal à

-{\frac {k'}{k}}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}a^{2}\varpi ^{2}-\ldots ,

le signe $\mathrm {S}$ s’étendant ici depuis $i=0$ jusqu’à $i=s-1.$ Lorsque les observations sont en très grand nombre, on peut ne conserver que le premier terme de la série ; car il est facile de voir que la somme des carrés ou des cubes, … de $q,q^{(1)},\ldots$ étant de l’ordre $s,$ chacun des termes de la série a pour facteur une quantité de cet ordre ; mais, si l’on suppose que $sa^{2}\varpi ^{2}$ soit toujours d’un ordre moindre que ${\sqrt {s}},$ alors le second terme de la série étant de l’ordre $sa^{4}\varpi ^{4},$ il sera très petit et deviendra nul dans le cas de $s$ infini ; on peut donc négliger vis-à-vis du premier terme le second, et à plus forte raison les suivants. Maintenant si l’on repasse des logarithmes aux nombres, on aura

2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi \times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(1)}x\varpi \times \ldots =e^{-{\frac {k'}{k}}a^{2}\varpi ^{2}\mathrm {S} q^{(i)^{2}}}\,;