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réunir les deux termes multipliés, l’un par $e^{qx\varpi {\sqrt {-1}}}$ et l’autre par $e^{-qx\varpi {\sqrt {-1}}},$ alors cette somme prend la forme $2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi .$ Il en est de même des autres sommes semblables. De là il suit que la probabilité que la fonction $(m)$ sera égale à $l$ est le terme indépendant de $\varpi ,$ dans la fonction

${\begin{aligned}e^{-l\varpi {\sqrt {-1}}}\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi &\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(1)}x\varpi \times \ldots \\&\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(s-1)}x\varpi .\end{aligned}}$

En y changeant $-l$ dans $l,$ on aura la probabilité que la fonction $(m)$ sera égale à $-l\,;$ en réunissant ces deux expressions, le terme indépendant de $\varpi ,$ dans le produit

${\begin{aligned}2\cos l\varpi \times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi &\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(1)}x\varpi \times \ldots \\&\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(s-1)}x\varpi \end{aligned}}$

est la probabilité que la fonction $(m)$ sera ou $+l$ ou $-l\,;$ cette probabilité est donc

${\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }d\varpi \cos l\varpi \times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi &\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(1)}x\varpi \times \ldots \\&\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(s-1)}x\varpi \end{aligned}}$

On a, en réduisant les cosinus en séries,

$\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi =\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)-{\frac {1}{2}}q^{2}a^{2}\varpi ^{2}\mathrm {S} {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\Psi \left({\frac {x}{a}}\right)+\ldots .$

Si l’on fait ${\frac {x}{a}}=x',$ et si l’on observe que, la variation de $x$ étant l’unité, on a $dx'={\frac {1}{a}},$ on aura

$\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)=a\int dx'\Psi (x').$

Nommons $k$ l’intégrale $2\int dx'\Psi (x'),$ prise depuis $x$ nul jusqu’à sa